Giải bài 28 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho phương trình ${x^2} + 2\left( {k + 1} \right)x + {k^2} + 2k = 0$.

a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$và $\left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = 1$.

b*) Tìm các giá trị k ($k < 0$) để phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a = 1;b = 2\left( {k + 1} \right);c = {k^2} + 2k$, do đó $b' = \frac{b}{2} = k + 1$.

Ta có $\Delta ' = {\left( {k + 1} \right)^2} - 1.\left( {{k^2} + 2k} \right) = 1 > 0$.

Vì $\Delta ' > 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

a) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} =  - 2\left( {k + 1} \right);{x_1}.{x_2} = {k^2} + 2k$

Ta có $\left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = 1$ hay $\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1$,

do đó $\left| {{k^2} + 2k} \right| = 1$

suy ra ${k^2} + 2k = 1$ hoặc ${k^2} + 2k =  - 1$

* ${k^2} + 2k = 1$ hay ${k^2} + 2k - 1 = 0$.

Ta có $\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 1} \right) = 2 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$k =  - 1 - \sqrt 2 ;k =  - 1 + \sqrt 2$

* ${k^2} + 2k =  - 1$ hay ${k^2} + 2k + 1 = 0$.

Ta có $\Delta ' = {1^2} - 1.1 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép: $k =  - 1$.

Vậy $k =  - 1 - \sqrt 2 ;k =  - 1 + \sqrt 2$; $k =  - 1$ là các giá trị cần tìm.

b) Để phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì ${x_1}{x_2} < 0$ và ${x_1} + {x_2} < 0$ hay ${k^2} + 2k < 0$ và $- 2\left( {k + 1} \right) < 0$

* ${k^2} + 2k < 0$ hay $k\left( {k + 2} \right) < 0$

Vì $k < 0$ nên $k + 2 > 0$, suy ra $k >  - 2$.

* $- 2\left( {k + 1} \right) < 0$ hay $k + 1 > 0$, suy ra $k >  - 1$

Kết hợp với điều kiện $k < 0$ ta tìm được $- 1 < k < 0$.