Bài 28 trang 55 SBT toán 9 tập 2

LG a

${x^2} + 2 + 2\sqrt 2$ và $2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

${x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0$

$\Delta ' = b{'^2} - ac$$= {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)$

     $= 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0$

$\sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2$

$\displaystyle {x_2} =\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2$

Vậy với $x = 2 + \sqrt 2$ hoặc $x = \sqrt 2$ thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.

LG b

$\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1$ và $2\sqrt 3 x + 3$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3$

$\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 - 2\sqrt 3 x - 3 =0$

$\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 4 = 0$ 

$\Delta ' = b{'^2} - ac$$= {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 3 \left( { - 4} \right)$

$= 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3$

$= 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0$

$\sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle= {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2$

$\displaystyle{x_2} =\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle= {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }}$$\,\displaystyle= {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}$

Vậy $x = 2$ hoặc $\displaystyle x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}$ thì hai biểu thức đó bằng nhau.

LG c

$- 2\sqrt 2 x - 1$ và $\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$- 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3$ 

$\Leftrightarrow  \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 +2\sqrt 2 x +1=0$ 

$\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0$

$\Delta ' = b{'^2} - ac$$= {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 .4$ 

$= 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2$

$= 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0$

$\sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle= {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }}$$\,= - \sqrt 2$

$\displaystyle{x_2} =\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle= {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }}$$\, = - 2$

Vậy $x =  - \sqrt 2$ hoặc $x =  - 2$ thì hai biểu thức bằng nhau.

LG d

${x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3$ và $2{x^2} + 2x + \sqrt 3$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

${x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3$

$\Leftrightarrow   2{x^2} + 2x + \sqrt 3 -{x^2} + 2\sqrt 3 x + \sqrt 3=0$

$\Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0$ 

$\Delta ' = b{'^2} - ac$$= {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 1.2\sqrt 3$

$= 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0$ 

$\sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3$

$\displaystyle {x_2} =\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3$

Vậy $x = 1 - \sqrt 3$ hoặc $x =  - 3 - \sqrt 3$ thì hai biểu thức bằng nhau.

LG e

$\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3$ và $- {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5  + 1$?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x$$\,+ 2\sqrt 5 + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 +{x^2}$$+ 2\sqrt 3 x \,- 2\sqrt 5 - 1=0$

$\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x$$\,- 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0$ 

$\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x$$\, - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0$

$\Delta ' = b{'^2} - ac$$= {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2}$$\, - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right)$
$= 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3$$\,+ 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1$

$= 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15}$

$= 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5$$\,+ 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5$

$= 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}$$\,+ {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3$$\,+ 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5$ 

$= {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0$

$\sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}}$$\,= 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\displaystyle{x_1} =\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}}$$\,\displaystyle= {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1$

$\displaystyle{x_2} =\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$$\displaystyle = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}}$$\,\displaystyle= {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}}$

$= -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt {15}$

Vậy $x=1$ và $x = -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt {15}$ thì hai biểu thức bằng nhau.

HocTot.Nam.Name.Vn