Bài 2.102 trang 137 SBT giải tích 12

Đề bài

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005\) là:

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle  2\)                   D. Vô số

Lời giải chi tiết

Xét hàm \(\displaystyle  f\left( x \right) = {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x\) trên \(\displaystyle  \left( {0; + \infty } \right)\) có:

\(\displaystyle  f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 2003}} + \frac{1}{{x\ln 2004}} > 0\) với mọi \(\displaystyle  x > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\displaystyle  \left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( 1 \right) = {\log _{2003}}1 + {\log _{2004}}1 = 0\)

\(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)\) \(\displaystyle   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{{\log }_{2003}}x + {{\log }_{2004}}x} \right) =  + \infty \)

Nên đường thẳng \(y=2005\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại duy nhất 1 điểm.

Do đó tồn tại duy nhất giá trị \(\displaystyle  {x_0} > 1\) sao cho \(\displaystyle  f\left( {{x_0}} \right) = 2005\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

HocTot.Nam.Name.Vn