Giải bài 2 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{{x - 5}}{{2{\rm{x}} + 1}}$;

b) $y = \frac{{2{\rm{x}}}}{{x - 3}}$;

c) $y =  - \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x - 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{x - 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  - \infty$

Vậy $x =  - \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 5}}{{2{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2}$

Vậy $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x - 3}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x - 3}} =  + \infty$

Vậy $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{\rm{x}}}}{{x - 3}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{\rm{x}}}}{{x - 3}} = 2$

Vậy $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{2}{3}} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ - }} \left( { - \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{2}{3}}^ + }} \left( { - \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) =  - \infty$

Vậy $x =  - \frac{2}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) =  - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{6}{{3{\rm{x}} + 2}}} \right) =  - 2$

Vậy $y =  - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.