Giải bài 18 trang 101 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C. Đường thẳng BO’ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC và N là giao điểm thứ hai của AN với (O). Chứng minh rằng:

a) O’M // ON.

b) Ba điểm D, N, F thẳng hàng.

c) DF là tia phân giác của góc $\widehat {BDC}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\widehat {AMO'} = \widehat {O'AM} = \widehat {OAN} = \widehat {ANO},$ suy ra O’M // ON.

b) Do O’M $\bot$ BC nên ta cũng có ON $\bot$ BC hay N là điểm chính giữa cung $\overset\frown{BC}$.

Mặt khác $\widehat{NAC}=\widehat{NDC}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{NC}$, $\widehat{BDN}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{BN}$ nên $\widehat {BDN} = \widehat {NAC} = \widehat {EAF}$. (1)

Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, ta có $\widehat {EAF} = \widehat {EDF} = \widehat {BDF}$  (2)

Từ (1) và (2), ta có $\widehat {BDF} = \widehat {BDN}$, suy ra D, N, F thẳng hàng.

c) Ta có hai cung $\overset\frown{BN}$ và $\overset\frown{NC}$ có số đo bằng nhau, suy ra $\widehat {BDN} = \widehat {NDC}$ hay DF là tia phân giác của $\widehat {BDC}$.