Giải bài 1.3 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một túi gồm các tấm thẻ giống hệt nhau chỉ khác màu, trong đó có 10 tấm thẻ màu đỏ và 6 tấm thẻ màu xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời ra 3 tấm thẻ từ trong túi.

a) Gọi X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra. Lập bảng phân bố xác suất của X. Tính $E\left( X \right).$

b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ màu đỏ được 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ màu xanh được 8 điểm.

Gọi Y là số điểm thu được sau khi rút 3 tấm thẻ từ trong túi. Lập bảng phân bố xác suất của Y. 

Lời giải chi tiết

X là số thẻ đỏ trong ba thẻ rút ra $\Rightarrow$ Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3}.

Số kết quả có thể là: $C_{16}^3 = 560$.

Biến cố $\left\{ {X = 0} \right\}$: “Rút được 3 thẻ xanh”. $\Rightarrow P\left( {X = 0} \right) = \frac{{C_6^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{2}{{56}}$

Biến cố $\left\{ {X = 1} \right\}:$ “Rút được 1 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh”. $\Rightarrow P\left( {X = 1} \right) = \frac{{C_{10}^1.C_6^2}}{{C_{16}^3}} = \frac{{15}}{{56}}$

Biến cố $\left\{ {X = 2} \right\}:$ “Rút được 2 thẻ đỏ và 1 thẻ xanh”. $\Rightarrow P\left( {X = 2} \right) = \frac{{C_{10}^2.C_6^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{27}}{{56}}$

Biến cố $\left\{ {X = 3} \right\}:$ “Rút được 3 thẻ đỏ”. $\Rightarrow P\left( {X = 3} \right) = \frac{{C_{10}^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{12}}{{56}}$

Bảng phân bố xác suất của X là

Ta có: $E(X) = 0.\frac{2}{{56}} + 1.\frac{{15}}{{56}} + 2.\frac{{27}}{{56}} + 3.\frac{{12}}{{56}} = 1,875$.

b) Y là số điểm thu được sau khi rút 3 tấm thẻ từ trong túi

$\Rightarrow$ Giá trị của Y thuộc tập {24; 21; 18; 15}

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( {Y = 24} \right) = P\left( {X = 0} \right) = \frac{2}{{56}};P\left( {Y = 21} \right) = P\left( {X = 1} \right) = \frac{{15}}{{56}}\\P\left( {Y = 18} \right) = P\left( {X = 2} \right) = \frac{{27}}{{56}};P\left( {Y = 15} \right) = P\left( {X = 3} \right) = \frac{{12}}{{56}}\end{array}$

Bảng phân bố xác suất của Y là