Đề kiểm tra giữa kì II Toán 7 - Đề số 2 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1: Bậc của đa thức $A = {\rm{\;}} - 3{x^5} - \frac{1}{2}{x^3}y - \frac{3}{4}x{y^2} + 3{x^5} + 2 - \frac{3}{4}{x^2}y$ là:

     A. $5$.                              B. 4.

    C. 3.                                   D. 2.

Câu 2: Giá trị của a,b để đơn thức $\frac{1}{2}{x^a}{y^{b + 1}}$ đồng dạng với đơn thức $2{x^2}{y^3}$ là:

     A. $a = 3,b = 2$.              B. $a = 2,b = 1$

    C. $a = 2,b = 2$.               D. $a = 1,b = 2$.

Câu 3: Giá trị của biểu thức $A = xy - 2{x^3}{y^4} - {x^{2019}} + 3y$ tại $x = {\rm{\;}} - 1;y = 2$ là:
    A. 29                                  B. 37

    C. 19                                  D. $- 27$

Câu 4: Cho $\Delta ABC$ có $\angle B = {45^0},\angle C = {75^0}.$ Tia $AD$ là tia phân giác của $\angle BAC\left( {D \in BC} \right).$ Khi đó số đo của $\angle ADB$ là:
    A. ${105^0}$                     B. ${100^0}$

    C. ${115^0}$                     D. ${120^0}$

Câu 5: Tam giác ABC có $BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.$ Tìm độ dài cạnh $AB$, biết độ dài này là một số nguyên $\left( {cm} \right)$.
    A. 6cm                                B. 7cm 

   C. 8cm                                 D. 9cm

II. TỰ LUẬN

Câu 6 (ID:406413) Điểm kiểm tra một tiết môn Toán của lớp 7A được ghi lại trong bảng sau:

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là gì?

b) Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?

c) Tính số trung bình cộng điểm kiểm tra môn toán của lớp 7A.

Câu 7:  Cho $\Delta ABC$ có $$AB{\rm{ }} = {\rm{ }}9cm,AC{\rm{ }} = {\rm{ }}12cm,BC{\rm{ }} = {\rm{ }}15cm.$$

a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông và so sánh các góc của $\Delta ABC.$

b) Trên tia đối của tia $$AB$$ lấy điểm $D$ sao cho $$AN{\rm{ }} = {\rm{ }}AB$$ . Chứng minh $\Delta DBC$ cân.

c) Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Đường thẳng $DK$ cắt cạnh $AC$ tại $M$.  Tính $CM$.

d) Từ trung điểm của $N$ của đoạn thẳng $AC$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $DC$ tại $I$.

Chứng minh ba điểm $B,M,I$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

I. TRẮC NGHIỆM

 Câu 1 (NB)

Phương pháp: Thu gọn đơn thức rồi tìm bậc của nó. Chú ý: Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó.
Cách giải: Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A = {\rm{\;}} - 3{x^5} - \frac{1}{2}{x^3}y - \frac{3}{4}x{y^2} + 3{x^5} + 2 - \frac{3}{4}{x^2}y}\\{A = \left( { - 3{x^5} + 3{x^5}} \right) - \frac{1}{2}{x^3}y - \frac{3}{4}x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y}\\{A = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^3}y - \frac{3}{4}x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y}\end{array}$

Bậc của ${x^3}y$ là 4. Bậc của $x{y^2}$ là 3. Bậc của ${x^2}y$ là 3.

Vậy bậc của đa thức $A$ là 4.

Chọn B.

Câu 2 (TH)

Phương pháp: Đơn thức đồng dạng là những đơn thức có cùng phần biến.
Cách giải:

Để đơn thức $\frac{1}{2}{x^a}{y^{b + 1}}$ đồng dạng với đơn thức $2{x^2}{y^3}$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b + 1 = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 2}\end{array}} \right.$

Vậy $a = 2;b = 2$

Chọn C.

Câu 3 (VD)
Phương pháp: Thay $x = {\rm{\;}} - 1;y = 2$ vào biểu thức $A = xy - 2{x^3}{y^4} - {x^{2019}} + 3y$ để tìm giá trị của $A$ tại đó.
Cách giải:

Thay $x = {\rm{\;}} - 1;y = 2$ vào biểu thức $A = xy - 2{x^3}{y^4} - {x^{2019}} + 3y$ ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A = xy - 2{x^3}{y^4} - {x^{2019}} + 3y}\\{A = \left( { - 1} \right).2 - 2.{{\left( { - 1} \right)}^3}.\left( {{2^4}} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^{2019}} + 3.2}\\{A = {\rm{\;}} - 2 + 32 + 1 + 6}\\{A = 37}\end{array}$

Vậy $A = 37$ tại $x = {\rm{\;}} - 1;{\mkern 1mu} y = 2$

Chọn B.

Câu 4 (VD)
Phương pháp: Áp dụng định lý tổng ba góc của một tam giác, và tính chất tia phân giác để tính góc cần tính.
Cách giải:

Theo định lý tổng ba góc của một tam giác, trong $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\angle BAC = {{180}^0} - \left( {\angle B + \angle C} \right)}\\{ = {{180}^0} - \left( {{{45}^0} + {{70}^0}} \right)}\\{ = {{60}^0}}\end{array}$

Vì AD là tia phân giác của $\angle BAC$ nên $\angle {A_1} = \angle {A_2} = \frac{{\angle BAC}}{2} = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}$.

Xét $\Delta ABD$ có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\angle BDA = {{180}^0} - \left( {\angle B + \angle {A_1}} \right)}\\{ = {{180}^0} - \left( {\angle {{45}^0} + {{30}^0}} \right)}\\{ = {{105}^0}}\end{array}$

Chọn A.

Câu 5 (TH)

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại.
Cách giải

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}$

Chọn C.

II. TỰ LUẬN

Câu 6 (VD)
Phương pháp:

a) Nêu dấu hiệu. Lưu ý: Dấu hiệu là vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu.

Chỉ ra số các giá trị của dấu hiệu.

b) Mốt là giá trị của dấu hiệu có tần số cao nhất.

c) Tính trung bình cộng.

Ta có công thức:

$\bar X{\rm{\;}} = \frac{{{x_1}.{n_1} + {x_2}.{n_2} + {x_3}.{n_3} + ... + {x_k}.{n_k}}}{N}$.

Trong đó:

${x_1};{x_2};.....;{x_k}$ là $k$ giá trị khác nhau của dấu hiệu $X$

${n_1};{n_2};....;{n_k}$ là tần số tương ứng.

$N$ là số các giá trị.

$\bar X$ là số trung bình của dấu hiệu $X$.

Cách giải:

a) Dấu hiệu: Điểm kiểm tra 1 tiết môn toán của mỗi bạn học sinh trong lớp 7A.

Số các giá trị của dấu hiệu là: 40.

b) Bảng tần số:

b) Mốt của dấu hiệu là: ${M_0} = 8$ (với tần số là 11).

c) Trung bình cộng điểm kiểm tra môn toán của lớp 7A là:

$\bar X{\rm{\;}} = \frac{{3.1 + 4.2 + 5.4 + 6.3 + 7.6 + 8.11 + 9.9 + 10.4}}{{40}} = 7,5$ (điểm).

Câu 7 (VD) Phương pháp:

a) Sử dụng định lý Py-ta-go để kiểm tra $\Delta ABC$ vuông. Sử dụng mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác để so sánh các cạnh rồi suy ra mối quan hệ giữa các góc.

b) Chứng minh $CB = CD \Rightarrow \Delta DBC$ cân tại $C$. Gọi K là trung điểm của cạnh BC.  Đường thẳng DK cắt cạnh AC tại M.

$\Rightarrow M$ là trọng tâm của $\Delta DBC$. Từ đó tính được $CM$.

c) Chứng minh $M$ là trọng tâm của $\Delta DBC$.

Rồi dựa vào tính chất của trọng tâm để tính độ dài đoạn thẳng $CM$.

d) Chứng minh I là trung điểm của CD, rồi suy ra BI là đường trung tuyến của $\Delta DBC$.

Cách giải:

a) Xét $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {{12}^2} = 225}\\{B{C^2} = {{15}^2} = 225}\\{ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

b) Xét $\Delta ABC{\mkern 1mu} \,\& \,{\mkern 1mu} \Delta ADC$ ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{AB = AC\left( {gt} \right)}\\{\angle DAC = \angle BAC = {{90}^0}}\\{AC{\mkern 1mu} chung}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow CB = CD$ (hai cạnh tương ứng) .

Xét $\Delta DBC$ có: $CB = CD\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta DBC$ cân tại C.

c) Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng DK cắt cạnh AC tại M.

$\Rightarrow M$ là trọng tâm của $\Delta DBC$.

Do đó: $CM = \frac{2}{3}CA = \frac{2}{3}.12 = 8\left( {cm} \right)$ (tính chất đường trung tuyến).

d) Từ trung điểm của $N$ của đoạn thẳng AC kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt DC tại $I$.

Chứng minh ba điểm B,M,I  thẳng hàng.

Vì $\angle KMN = \angle DMA$ (đối đỉnh)

Mà $\angle DMA + \angle MDA = {90^0}$

$\angle KMN + \angle MKN = {90^0}$

$\Rightarrow \angle MA = \angle MKN$

Mà hai góc này so le trong

$\Rightarrow NK//BD$

Mặt khác: $IN//BD$ vì cùng vuông góc với AC.

$\Rightarrow \Delta CIK$ cân tại $C$.

$\Rightarrow IC = CK$

Mà $K$ là trung điểm của BC

$\Rightarrow I$ là trung điểm của CD.

$\Rightarrow BI$ là đường trung tuyến của $\Delta DBC$.

$\Rightarrow B,M,I$ là ba điểm thẳng hàng.