Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 10 - đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Cho tập $A,B$ lần lượt là tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x - 6}$ và $g\left( x \right) = \dfrac{3}{{2x + 1}}$. Xác định các tập $A \cap B,A \cup B,A\backslash B,{C_\mathbb{R}}A$.

b) Cho tập hợp $C = \left[ { - 3;8} \right]$ và $D = \left[ {m - 6;m + 3} \right)$. Với giá trị nào của $m$ thì $C \cap D$ là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4.

Câu 2.(1,5 điểm)

1) Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 1} \right|}}$.

2) Cho đường thẳng $\left( d \right)$: $y = \left| {3x + 2} \right| - 2$. Khi tịnh tiến $\left( d \right)$ lên trên 1 đơn vị, rồi sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số $y = 3{x^2} - 2x + 3$ có đồ thị là một parabol $(P)$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm tất cả giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = x - m$ cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$có $BC = 6\sqrt 2 cm$. Gọi $M,N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}$.

a) Tính $\left| {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right|$.

b) Chứng minh rằng $4\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0$.

c) Gọi D là trung điểm của BC. Tìm tập hợp điểm E thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN}  - \overrightarrow {ED} } \right| = \dfrac{1}{2}AC$.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {x - 6}  \Rightarrow$ĐKXĐ: $x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6$

$\Rightarrow A = \left[ {6; + \infty } \right)$

$g\left( x \right) = \dfrac{3}{{2x + 1}} \Rightarrow$ĐKXĐ: $2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow B = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}$

Ta có:$A \subset B$ nên $A \cap B = \left[ {6; + \infty } \right)$;$A \cup B = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2}} \right\}$;$A\backslash B = \emptyset$;

${C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;6} \right)$.

b) $C \cap D$ là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi

$8 - \left( {m - 6} \right) = 4 \Leftrightarrow m =  - 10$

Câu 2.

a) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Khi đó, $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$.

$\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}}{{\left| { - 2x + 1} \right| + \left| { - 2x - 1} \right|}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| { - \left( {2x - 1} \right)} \right| + \left| { - \left( {2x + 1} \right)} \right|}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|}} = f\left( x \right)\end{array}$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm chẵn.

b) Kí hiệu $f\left( x \right) = \left| {3x + 2} \right| - 2$.

Khi tịnh tiến $\left( d \right)$ lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị $\left( {{d_1}} \right)$ của hàm số: $y = f\left( x \right) + 1 = \left| {3x + 2} \right| - 1$.

Kí hiệu $g\left( x \right) = \left| {3x + 2} \right| - 1$. Khi tịnh tiến $\left( {{d_1}} \right)$ sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị $\left( {{d_2}} \right)$ của hàm số: $y = g\left( {x - 2} \right) = \left| {3\left( {x - 2} \right) + 2} \right| - 1 = \left| {3x - 4} \right| - 1$.

Câu 3.

a) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{3};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{8}{3}$. Đồ thị hàm số có đỉnh $I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right)$ và trục đối xứng là $x = \dfrac{1}{3}$ và hướng bề lõm lên trên. Từ đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)$, đồng biến trên $\left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right)$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{8}{3}$ khi $x = \dfrac{1}{3}$.

Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm $\left( {0;3} \right)$, không cắt trục hoành, $(P)$ đi qua điểm $A\left( {1;4} \right),B\left( { - \dfrac{1}{3};4} \right)$.

Đồ thị:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $(P)$ là:

$\begin{array}{l}3{x^2} - 2x + 3 = x - m\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 3 - m = 0(1)\end{array}$

Đồ thị hàm số $y = x - m$ cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

$\Leftrightarrow$Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4.3.\left( {3 - m} \right) > 0\\3 - m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{4}\\m < 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $\dfrac{3}{4} < m < 3$

Câu 4.

a) Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại A có $BC = 6\sqrt 2$ nên $AB = AC = 6(cm)$.

$\begin{array}{l}{\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)^2} = A{M^2} + 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}  + A{N^2}\\ = A{M^2} + A{N^2} = \dfrac{1}{4}A{B^2} + \dfrac{1}{{16}}A{C^2}\\ = \dfrac{5}{{16}}A{B^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}AB = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\left( {cm} \right)\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}4\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AB} \\ = 4\left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM} } \right) - \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {AC}  - 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0 \end{array}$

c) Kẻ hình bình hành $MDNP$. Ta có

 $\begin{array}{l}\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN}  - \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {DN} \\ = \overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {DP}  = \overrightarrow {EP} \end{array}$

$\Rightarrow$tập hợp điểm $E$ cần tìm là đường tròn tâm $P$ bán kính $3cm$.

HocTot.Nam.Name.Vn