Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 10 đề số 3 có lời giải chi tiết

Đề bài

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Hãy xác định kết quả của phép toán \(\left[ { - 1;9} \right)\backslash \left( { - 7;5} \right]\)

A. \(\left( {5;9} \right).\)   B. \(\left( { - 7; - 1} \right).\)                         

C. \(\left[ { - 1;5} \right].\)   D. \(\left( { - 7;9} \right).\)

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {x + 5} \).

A. \(D = \mathbb{R}\).                     B. \(D = \left( { - \infty ; - 5} \right]\).       

C. \(D = \left[ {5; + \infty } \right)\).     D. \(D = \left[ { - 5; + \infty } \right)\).

Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. \(y =  - 2{x^2}\).            B. \(y = 5{x^6} + 1\).        

C. \(y =  - 3{x^3}\).            D. \(y =  - 4{x^4}\).

Câu 4. Hàm số \(y = \dfrac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi nào?

A. \(9x - 1 \ge 0\).              B. \(x + 6 \ge 0\).              

C. \(9x - 1 \ne 0\).             D. \(x + 6 \ne 0\).

Câu 5. Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {3;4;5;6} \right\}\) và \(B = \left\{ {5;6;7} \right\}\). Kết quả của phép toán \(A \cap B\) là

A. \(\left\{ {5;6} \right\}\).       B. \(\left\{ 7 \right\}\).                                         

C. \(\left\{ {3;4} \right\}\).        D. \(\left\{ {3;4;5;6;7} \right\}\).

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \(d:y = 5x - 99\) và \(d':y = 5x + 11\). Mệnh đề nào là đúng?

A. d  cắt d’ nhưng không vuông góc.       

B. d  vuông góc d’.                                             

C. d  song song d’.                                     

D. d  trùng với d’.

Câu 7. Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 1.\) Tọa độ đỉnh I của parabol \(\left( P \right)\) là

A.\(\left( { - 2;13} \right)\).           B.\(\left( {2; - 3} \right)\).                         

C.\(\left( {4;1} \right)\).                 D.\(\left( { - 4;33} \right)\).

Câu 8. Cho tập hợp \(A = \left\{ {b;d} \right\}\). Tập hợp \(A\) có tất cả bao nhiêu tập con?

 A. \(2\).    B. \(3\).       C. \(1\).        D. \(4\).

Câu 9. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = \left( {m - 5} \right)x + 2019\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

A. \(m < 5\).        B. \(m > 5\).     C. \(m \ge 5\).  D. \(m \le 5\).

Câu 10. Đường thẳng \(d:y = x + 3\) cắt parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} + 10x + 3\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là

A. \(x =  - \dfrac{1}{3},\,x = 3\).       

B.\(x =  - \dfrac{1}{3},\,x =  - 3\).               

C. \(x =  - 3,\,x = 3\).              

D. \(x =  - 3,\,x = 0\).

Câu 11. Cho hàm số \(y = 2{x^2} - 4x\) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) để phương trình \(2{x^2} - 4x = 3m\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(4\).             B. \(6\).             C. \(5\).              D. \(7\).

Câu 12. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. \(y =  - {x^2} + 2x\).                  B. \(y = {x^2} - 2x\).              

C. \(y =  - {x^2} - 2x\).                   D. \(y =  - {x^2} + 2x - 1\).

Câu 13. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {1;\,\,5} \right]\) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;5} \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

C. \(f\left( 1 \right) = 2\).

D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;\,\,5} \right)\).

Câu 14. Cho giá trị của tham số m để hai đường thẳng \(\Delta :y = \left( {3m - 2} \right)x - 3,\,\,\Delta ':y = 2x - 5\) vuông góc với nhau.

A. \(m = \dfrac{1}{2}\).           B. \(m =  - \dfrac{3}{2}\).                           

C. \(m =  - \dfrac{1}{2}\).        D. \(m = \dfrac{2}{3}\).

Câu 15. Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. \(y = 2x - 1\).                  B. \(y = 3x + 2\).

C. \(y = 3x - 2\).                  D. \(y = \dfrac{1}{3}x - 2\)

Câu 16. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)                            

B. \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

C. \(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)                                  

D. \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

Câu 17. Tam giác ABC có\(a = 7,b = 5,\angle C = {60^o}\). Độ dài cạnh c bằng bao nhiêu?

A. \(\sqrt {39} \)       B. \(109\)       C. \(\sqrt {109} \)       D. \(39\)

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm \(A\left( {1; - 2} \right);B\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) là:

A. \(\left( { - 11;\,\,19} \right)\)                              B. \(\left( { - 4;\,2} \right)\)            

C. \(\left( {4; - 2} \right)\)                                         D. \(\left( {11;\, - 19} \right)\)

Câu 19. Gọi điểm M là điểm thuộc cạnh BC của tam giác ABC sao cho BM = 3MC . Khi đó \(\overrightarrow {AM} \) bằng:

A. \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

B. \(\dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \)

C. \(\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \) 

D. \(\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

Câu 20. Cho véc tơ\(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right)\). Với giá trị nào của y thì véc tơ \(\overrightarrow b  = \left( {3;y} \right)\) tạo với véc tơ \(\overrightarrow a \) một góc \({45^o}\):
A. \(y =  - 9\)                     

B. \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 9\end{array} \right.\)                    

C. \(\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 9\end{array} \right.\)                    

D. \(y =  - 1\)

B. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

     a) \(y = \dfrac{{4x + 99}}{{x - 10}}\) .                       b) \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}}\).

Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)

Câu 3. Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + bx + c\).

a)  Xác định các hệ số \(b,\,\,c\)  biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\) và có trục đối xứng \(x = 3\).                                                                    

b)  Với các số \(b,\,\,c\) đã tìm được, hãy tính giá trị của hàm số tại \(x =  - 1\).

Câu 4. Cho tam giác ABC có \(A\left( { - 2;1} \right),B\left( {1; - 1} \right),C\left( {2;3} \right).\)

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1

Phương pháp:

Áp dụng hiệu hai tập hợp \(A\backslash B = \left\{ {x|x \in A,x \notin B} \right\}\)

Cách giải:

Ta có: \(\left[ { - 1;9} \right)\backslash \left( { - 7;5} \right] = \left( {5;9} \right)\)

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Biểu thức \(\sqrt A \) xác định khi và chỉ khi \(A \ge 0\)

Cách giải:

Ta có: \(y = \sqrt {x + 5} \) xác định khi và chỉ khi \(x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 5\).

\( \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \left[ { - 5; + \infty } \right)\)

Chọn D.

Câu 3 

Phương pháp:

Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) với \(D\) là tập đối xứng.

Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu \(x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)                    .

Cách giải:

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

+) Xét đáp án A: \(y =  - 2{x^2}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Với \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - 2{\left( { - x} \right)^2} =  - 2{x^2} = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

+) Xét đáp án B:  \(y = 5{x^6} + 1\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Với \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)  và \(f\left( { - x} \right) = 5{\left( { - x} \right)^6} + 1 = 5{x^6} + 1 = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

+) Xét đáp án C: \(y =  - 3{x^3}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Với \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)  và \(f\left( { - x} \right) =  - 3{\left( { - x} \right)^3} = 3{x^3} =  - f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\)là hàm số lẻ.

+) Xét đáp án D: \(y =  - 4{x^4}\)có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Với \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - 4{\left( { - x} \right)^4} =  - 4{x^2} = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Chọn C.

Câu 4

Phương pháp:

Ta có : \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi và chỉ khi \(B \ne 0\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{9x - 1}}{{x + 6}}\) xác định khi và chỉ khi \(x + 6 \ne 0\)

Chọn D.

Câu 5

Phương pháp:

Ta có: \(A \cap B = \left\{ {x|x \in A,x \in B} \right\}\)

Cách giải:

Ta có: \(A = \left\{ {3;4;5;6} \right\}\) và \(B = \left\{ {5;6;7} \right\}\).

\( \Rightarrow A \cap B = \left\{ {5;6} \right\}\)

Chọn A.

Câu 6

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\) và \(d':y = a'x + b'.\) Khi đó ta có:

\( + )\,\,d\) cắt \(d'\) \( \Leftrightarrow a \ne a'.\)

\( + )\,\,d\) vuông góc với \(d'\) \( \Leftrightarrow a.a' =  - 1.\)

\( + )\,\,d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right..\)

\( + )\,\,d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right..\)

Cách giải:

Ta có: \(d:y = 5x - 99\) và \(d':y = 5x + 11\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = a' = 5\\\,b \ne b'\,\,\,\left( { - 99 \ne 11} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow d//d'.\)   

Chọn C.

Câu 7

Phương pháp:

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\) hay \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};f\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} \right)} \right)\)

Cách giải:

Ta có: \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 1.\)

Hoành độ của đỉnh \(I\) là: \({x_I} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{4}{2} = 2\)

\( \Rightarrow {y_I} = f\left( 2 \right) = {2^2} - 4.2 + 1 =  - 3\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right)\)

Chọn B.

Câu 8 

Phương pháp:

Liệt kê các tập con của tập hợp A.

Cách giải:

Các tập hợp con của tập hợp \(A = \left\{ {b;d} \right\}\) là: \(B = \emptyset ;\,\,C = \left\{ b \right\};\,\,D = \left\{ d \right\};\,\,E = A = \left\{ {b;d} \right\}\)

Như vậy A có 4 tập con.        

Chọn D.

Câu 9

Phương pháp:

Hàm số \(y = ax + b\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \left( {m - 5} \right)x + 2019\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m - 5 < 0 \Leftrightarrow m < 5\)

Chọn A.

Câu 10

Phương pháp:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\):

\(\begin{array}{l}3{x^2} + 10x + 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 11

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 4x = 3m\) là số giao điểm của đò thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 4x\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 3m.\)

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 4x = 3m\) là số giao điểm của đò thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 4x\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 3m.\)

Ta có đồ thị hàm số:

 

Đường thẳng \(y = 3m\) cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 3m >  - 2 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{2}{3}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ {0;\,\,5} \right]\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn B.

Câu 12

Phương pháp:

Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm số, đỉnh của đồ thị và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua để xác định hàm số cần tìm.

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ xác định đây là đồ thị hàm số\(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới \( \Rightarrow a < 0.\)

Đồ thị có đỉnh \(I\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(O\left( {0;0} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow c = 0\)

Thay vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - {x^2} - 2x.\)

Chọn C.

Câu 13

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị xét các đáp án.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {2;\,\,4} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

+) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;\,\,2} \right)\) và \(\left( {4;\,\,5} \right).\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn B.

Câu 14

Phương pháp:

Hai đường thẳng \(d:y = ax + b\) và \(d':y = a'x + b'\) vuông góc khi \(a.a' =  - 1.\)

Cách giải:

Hai đường thẳng \(\Delta :y = \left( {3m - 2} \right)x - 3,\,\,\Delta ':y = 2x - 5\) vuông góc với nhau

 \( \Leftrightarrow \left( {3m - 2} \right).2 =  - 1\)\( \Leftrightarrow 3m - 2 =  - \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 3m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

Chọn A.

Câu 15

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số, xác định dáng điệu của đồ thị và các điểm mà đồ thị hàm số để qua để tìm hàm số.

Cách giải:

Dựa vào hình vẽ xác định đây là đồ thị hàm số bậc nhất \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) 

Đồ thị hàm số đi qua \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {0; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = 3x - 2.\)

Chọn C.

Câu 16

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sin bù, phụ chéo:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha  &  &  & \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha  &  &  & \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array}\)

Cách giải:

\(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Vậy đẳng thức A sai.

Chọn A.

Câu 17 

Phương pháp:

Sử dụng công thức định lý cosin: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \angle C\)

Cách giải:

Sử dụng công thức định lý cosin ta có:

\(\begin{array}{l}{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \angle C = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\cos {60^o} = 39\\ \Rightarrow c = \sqrt {39} \end{array}\) 

Chọn A.

Câu 18

Phương pháp:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Cách giải:

Gọi điểm \(M\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - 2x; - 4 - 2y} \right)\,\,;\,\,3\overrightarrow {MB}  = \left( { - 9 - 3x;\;15 - 3y} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x + 9 + 3x; - 4 - 2y - 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;\;y - 19} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 11;\;19} \right).\end{array}\) 

Chọn A.

Câu 19 

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc 3 điểm, các tính chất vectơ để tính \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)  

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

 \( = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \) 

Chọn B.

Câu 20

Phương pháp:

Dùng công thức góc giữa hai véc tơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\,\,;\,\,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)

Cách giải:

Véc tơ \(\overrightarrow b  = \left( {3;y} \right)\) tạo với véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right)\) một góc \({45^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {45^o} = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 .\sqrt {9 + {y^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}.\sqrt {9 + {y^2}}  = 3 - 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2y \ge 0\\\dfrac{5}{2}\left( {9 + {y^2}} \right) = {\left( {3 - 2y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \dfrac{3}{2}\\45 + 5{y^2} = 18 - 24y + 8{y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \dfrac{3}{2}\\3{y^2} - 24y - 27 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \dfrac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - 1.\end{array}\)

Chọn D.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1 

Phương pháp:

Biểu thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi và chỉ khi \(B \ne 0.\)

Biểu thức \(\sqrt A \) xác định khi và chỉ khi \(A \ge 0.\)

Cách giải:

a) \(y = \dfrac{{4x + 99}}{{x - 10}}\) 

Hàm số \(y = \dfrac{{4x + 99}}{{x - 10}}\)  xác định khi và chỉ khi \(x - 10 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 10\)

\( \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {10} \right\}\).   

b) \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}}\)

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 2}}\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \ne 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Câu 2 

Phương pháp:

Phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - b}}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\)

Xác định dấu của \(a\) xem bề lõm hướng lên hay hướng xuống

Bước 2: Xác định các điểm thuộc đồ thị

Bước 3: Vẽ parabol

Cách giải:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) ta có:

+) Đồ thị hàm số có đỉnh là: \(I\left( {2; - 1} \right)\)

+) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là: \(x = 2\)

Vì \(a = 1 > 0\) bề lõm hướng lên.

+) Một số điểm thuộc đồ thị:

+) Ta có đồ thị hàm số:

 

Câu 3 

Phương pháp:

a) Đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)  đi qua điểm \(M\left( {{x_M};f\left( {{x_M}} \right)} \right)\) và có trục đối xứng \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\) ta lập được hệ phương trình rồi giải hệ phương trình để tìm \(b,\,\,c.\)

b) Thay \(x =  - 1\) vào hàm số và tính giá trị hàm số.

Cách giải:

a) Xác định các hệ số \(b,\,\,c\) biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;\,\,3} \right)\) và có trục đối xứng \(x = 3.\)

Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + bx + c\).

Đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(x = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{ - b}}{2} = 3 \Rightarrow b =  - 6\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\) nên ta có: \({2^2} + \left( { - 6} \right).2 + c = 3\)\( \Leftrightarrow  - 8 + c = 3 \Leftrightarrow c = 11\)

Vậy hàm số cần tìm có dạng \(\left( P \right):y = {x^2} - 6x + 11\)                           

b)  Xác định các hệ số \(b,\,\,c\) đã tìm được, hãy tính giá trị của hàm số tại \(x =  - 1.\)

Với các số \(b,\,\,c\) đã tìm được ta có: \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 11\)

Với \(x =  - 1\)\( \Rightarrow y = f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 11 = 18\).

Vậy giá trị của hàm số tại  \(x =  - 1\) là \(18\).

Câu 4 

Phương pháp:

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \) từ đó dựa vào định nghĩa hai véc tơ bằng nhau để tìm tọa độ điểm D.

b) \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1},{a_2}} \right) \bot \overrightarrow b  = \left( {{b_1},{b_2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Cách giải:

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Gọi \(D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {x + 2;y - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {1;4} \right)\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\y - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 5\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( { - 1;5} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gọi \(H\left( {a;\;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {a + 2;\;b - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {1;\;4} \right);\) \(\;\overrightarrow {CH}  = \left( {a - 2;b - 3} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 2} \right)\)

H là trực tâm của tam giác ABC\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 2} \right) + 4\left( {b - 1} \right) = 0\\3\left( {a - 2} \right) - 2\left( {b - 3} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 2\\3a - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{7}\\b = \dfrac{3}{7}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{7};\;\dfrac{3}{7}} \right)\)

Vậy trực tâm cần tìm là \(H\left( {\dfrac{2}{7};\,\,\dfrac{3}{7}} \right).\)

HocTot.Nam.Name.Vn