Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3

Đề bài

Câu 1 :

Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

  • A

    \(1\) 

  • B

    \(2\)  

  • C

    \(3\) 

  • D

    \(0\) 

Câu 2 :

So sánh hai số \(5\) và \(\sqrt {50}  - 2\).

  • A

    \(5 > \sqrt {50}  - 2\)

  • B

    \(5 = \sqrt {50}  - 2\)

  • C

    \(5 < \sqrt {50}  - 2\)

  • D

    Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Câu 3 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\).

  • A

    \( - \dfrac{5}{6}\)

  • B

    \(\dfrac{5}{6}\)

  • C

    \( - \dfrac{5}{3}\)

  • D

    \(\dfrac{5}{3}\)

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức \(3\sqrt {8a}  + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}}  - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}}  - \sqrt {2a} \) với \(a > 0\) ta được:

  • A

    \(\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt a \)

  • B

    \(\dfrac{{21}}{5}\sqrt a \)

  • C

    \(\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \)

  • D

    \(\dfrac{{47}}{5}\sqrt {2a} \)

Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc \(DIE\) có số đo bằng

  • A

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} + \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

  • B

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} - \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

     

  • C

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DF} + \) sđ \(\overparen{CE}\) )

  • D

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DF} + \) sđ \(\overparen{CE}\) )

Câu 6 :

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

  • A

    \(y =  - \left( {\dfrac{x}{2} - 3} \right)\)

  • B

    \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\)

  • C

    \(y =  - 5 - 3x\)

  • D

    \(y =  - \left( {9 + 3x} \right)\)

Câu 7 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) ?

  • A

    \(1.\)

  • B

    \(2.\)

  • C

    \(3.\)

  • D

    \(4.\)

Câu 8 :

Tập nghiệm của phương trình  \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\) là:

  • A

    \(S = \left\{ {1; - 7} \right\}\)

  • B

    \(S = \left\{ { - 1;7} \right\}\)

  • C

    \(S = \left\{ 7 \right\}\)

  • D

    \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

  • A

    Có đỉnh nằm trên đường tròn 

  • B

    Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

  • C

    Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn

  • D

    Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Câu 10 :

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi:

  • A

    \(m \notin \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}\)

  • B

    \(m > 0\)

  • C

    \(m \ne 0\)

  • D

    \(m \ne \dfrac{1}{2}\)

Câu 11 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\) . Tổng các giá trị của \(a\) thỏa mãn \(f\left( a \right) = 3 + \sqrt 5 \) là

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\sqrt 5 \)

  • C

    \(0\)

  • D

    \( - 2\)

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) tạo với đường thẳng \(y = 2\) (theo chiều dương) một góc bằng \(135^\circ \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(4\).

  • A

    \(y = x - 4\)

  • B

    \(y =  - x - 4\)

  • C

    \(y = x + 4\)

  • D

    \(y =  - x + 4\)

Câu 13 :

 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến với mọi \(x \in R?\)

  • A
    \(y = {\rm{\;}} - 2x + 4.\)
  • B
    \(y = \sqrt 3 x - 2.\)
  • C
    \(y = {\rm{\;}} - \left( {\frac{7}{2} + 2x} \right).\)
  • D
    \(y = \frac{{1 - x}}{3}\)
Câu 14 :

Phép tính \(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}} \) có kết quả là?

  • A

    \( - 33\)

  • B

    \( - 132\)

  • C

    \(132\)

  • D

    Không tồn tại.

Câu 15 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) và hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) . Tìm số bé hơn.

  • A

    \(12\)

  • B

    \(10\)

  • C

    \(21\)

  • D

    \(9\)

Câu 16 :

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 7\,cm,AB = \,5cm\). Tính $BC;\widehat C$ . 

  • A

    $BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'$

  • B

    $BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'$

  • C

    $BC = \sqrt {74} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$

  • D

    $BC = \sqrt {75} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Câu 17 :

 Tính thể tích V của hình cầu có bán kính \(R = 3\left( {cm} \right).\)

  • A
    \(V = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • B
    \(V = 9\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • C
    \(V = 72\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • D
    \(V = 36\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Câu 18 :

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD,CE\) . Chọn khẳng định đúng.

  • A

    Bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn

  • B

    Năm điểm \(A,B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn

  • C

    Cả A, B đều sai

  • D

    Cả A, B đều đúng

Câu 19 :

Phương trình \({(2x + 1)^4}-8{(2x + 1)^2}-9 = 0\) có tổng các nghiệm là

  • A

    \(1\)

  • B

    \( - 2\)

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \(2\sqrt 2 \)

Câu 20 :

Cho parabol\((P):y = 5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y =  - 4x - 4\). Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là:

  • A

    \(1\)

  • B

    \(0\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(2\)

Câu 21 :

 Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(x \le 0?\)

  • A
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 3x\)
  • B
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3x\)
  • C
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 9x\)
  • D
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 9x\)
Câu 22 :

Đồ thị hàm số \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) đi qua điểm nào dưới đây?

  • A

    \(A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)\)

  • B

    \(B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\)

  • C

    \(C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)\)

  • D

    \(D\left( {2;10} \right)\)

Câu 23 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là \(24c{m^2}\) thì diện tích mặt cầu là:

  • A

    \(4\pi \)

  • B

    \(4\)

  • C

    \(2\pi \)

  • D

    \(2\)

Câu 24 :

Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8\) có nghiệm là

  • A

    Số lẻ dương

  • B

    Số chẵn dương

  • C

    Số lẻ âm

  • D

    Số vô tỉ

Câu 25 :

 Đồ thị ở hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

  • A
    \(y = {\rm{\;}} - 2{x^2}\)
  • B
    \(y = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}{x^2}\)
  • C
    \(y = {\rm{\;}} - 4{x^2}\)
  • D
    \(y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\)
Câu 26 :

Một cột đèn điện \(AB\) cao \(7m\) có bóng in trên mặt đất là \(AC\) dài \(4m.\) Hãy tính góc \(\widehat {BCA}\) (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

  • A

    \(59^\circ 45'\)

  • B

    \(62^\circ \)

  • C

    \(61^\circ 15'\)

  • D

    \(60^\circ 15'\)

Câu 27 :

Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao \(h = 10cm\) và đường kính đáy là \(d= 6cm\) . Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \(\pi  \backsimeq 3,14\)

  • A

    \(110\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • B

    \(129\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • C

    \(96\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • D

    \(69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Câu 28 :

Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).

  • A

    14 dãy

  • B

    15 dãy

  • C

    16 dãy

  • D

    17 dãy

Câu 29 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

  • A

    $25a$

  • B

    $5a$

  • C

    $ - 25{a^3}$

  • D

    $ - 5a$

Câu 30 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh \(\cot 50^\circ \) và \(\cot 46^\circ \)           

  • A

    \(\cot 46^\circ  = \cot 50^\circ \)

  • B

    \(\cot 46^\circ  > \cot 50^\circ \)

  • C

    \(\cot 46^\circ  < \cot 50^\circ \)

  • D

    \(\cot 46^\circ  \ge \cot 50^\circ \)

Câu 31 :

Cho đường thẳng \(d\):\(y = \dfrac{1}{3}x - 10\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là

  • A

    \(3\)

  • B

    \(\dfrac{1}{3}\)

  • C

    \( - \dfrac{1}{3}\)

  • D

    \( - 3\)

Câu 32 :

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\)  giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\)  giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

  • A

    \(9\) giờ

  • B

    \(12\) giờ

  • C

    \(10\) giờ

  • D

    \(8\) giờ

Câu 33 :

Phát biểu nào sau đây đúng nhất

  • A

    Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp

  • B

    Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp

  • C

    Cả A và B đều đúng

  • D

    Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Câu 34 :

Tính \(x\) trong hình vẽ sau:

  • A

    \(x = 14\)

  • B

    \(x = 13\)

  • C

    \(x = 12\)

  • D

    \(x = \sqrt {145} \)

Câu 35 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) và \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3.x}}{2}\). So sánh \(f\left( { - 1} \right)\) và \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • A

    \(f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • B

    \(f\left( { - 1} \right) > h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • C

    \(f\left( { - 1} \right) < h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • D

    Không đủ điều kiện so sánh

Câu 36 :

Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 2 = 0\) và \({x^2} + 2x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.

  • A

    \(1\)

  • B

    \( - 3\)

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \(3\)

Câu 37 :

Tìm cặp giá trị \((m;n)\)  để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\x + \dfrac{1}{3}y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.(I)\) và

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - ny = 1\\3mx + my = 1\end{array} \right.(II)$

  • A

    \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\)           

  • B

    \(\left( 1;-1 \right)\)

  • C

    \(( - 1;1)\)

  • D

    \(\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\)

Câu 38 :

Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} \).

  • A

    \(2 + 2\sqrt {11} \)

  • B

    \(8\)

  • C

    \(2\)

  • D

    \(2\sqrt {11} \)

Câu 39 :

Đưa thừa số \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \) (\(x < 0\)) vào trong dấu căn ta được:

  • A

    \(\sqrt {\dfrac{{300}}{x}} \)

  • B

    \(\sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \)

  • C

    \( - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \)

  • D

    \( - \sqrt {\dfrac{{ - 60}}{x}} \)

Câu 40 :

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

  • A

    Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân

  • B

    $\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$

  • C

    $\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$       

  • D

    Tất cả các câu đều sai

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

  • A

    \(1\) 

  • B

    \(2\)  

  • C

    \(3\) 

  • D

    \(0\) 

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Câu 2 :

So sánh hai số \(5\) và \(\sqrt {50}  - 2\).

  • A

    \(5 > \sqrt {50}  - 2\)

  • B

    \(5 = \sqrt {50}  - 2\)

  • C

    \(5 < \sqrt {50}  - 2\)

  • D

    Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \).

Lời giải chi tiết :

Tách \(5 = 7 - 2 = \sqrt {49}  - 2\).

Vì \(49 < 50 \) nên \( \sqrt {49}  < \sqrt {50} \)

\( 7 < \sqrt {50} \)

\(7 - 2 < \sqrt {50}  - 2 \)

\( 5 < \sqrt {50}  - 2\).

Câu 3 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\).

  • A

    \( - \dfrac{5}{6}\)

  • B

    \(\dfrac{5}{6}\)

  • C

    \( - \dfrac{5}{3}\)

  • D

    \(\dfrac{5}{3}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-et:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) thì  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình \( - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\) có \(\Delta  = {5^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 37 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{5}{{ - 3}} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{3}\).

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức \(3\sqrt {8a}  + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}}  - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}}  - \sqrt {2a} \) với \(a > 0\) ta được:

  • A

    \(\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt a \)

  • B

    \(\dfrac{{21}}{5}\sqrt a \)

  • C

    \(\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \)

  • D

    \(\dfrac{{47}}{5}\sqrt {2a} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

- Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

\(3\sqrt {8a}  + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}}  - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}}  - \sqrt {2a} \) \(  = 3\sqrt {4.2a}  + \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {16.2a} }}{{\sqrt {25} }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {2a} }} - \sqrt {2a} \) \( = 3.2\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{4\sqrt {2a} }}{5} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {2a} }}{{2a}} - \sqrt {2a} \) \( = 6\sqrt {2a}  + \dfrac{1}{5}\sqrt {2a}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {2a}  - \sqrt {2a} \)

\( = \sqrt {2a} .\left( {6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} - 1} \right) = \dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \)

Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc \(DIE\) có số đo bằng

  • A

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} + \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

  • B

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} - \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

     

  • C

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DF} + \) sđ \(\overparen{CE}\) )

  • D

    $\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DF} + \) sđ \(\overparen{CE}\) )

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

\(\widehat {DIE} = \)$\dfrac{1}{2}$(sđ \(\overparen{DmE} + \) sđ \(\overparen{CnF}\) )

Câu 6 :

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

  • A

    \(y =  - \left( {\dfrac{x}{2} - 3} \right)\)

  • B

    \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\)

  • C

    \(y =  - 5 - 3x\)

  • D

    \(y =  - \left( {9 + 3x} \right)\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\)và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y =  - \left( {\dfrac{x}{2} - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\) có \(a =  - \dfrac{1}{2} < 0\) nên  là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) có \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\) nên là hàm số đồng biến

Hàm số \(y =  - 5 - 3x\)\( \Leftrightarrow y = x - 9\)có \(a =  - 1 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số \(y =  - \left( {9 + 3x} \right) \Leftrightarrow y =  - 9 - 3x\) có \(a =  - 3 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Câu 7 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) ?

  • A

    \(1.\)

  • B

    \(2.\)

  • C

    \(3.\)

  • D

    \(4.\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Trừ vế với vế của hai phương trình ta được phương trình mới

+ Biến đổi phương trình nhận được và kết hợp với một trong hai phương trình ban đầu ta tìm được \(x;y\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 4\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y = 4 - x\end{array} \right.\)

Khi \(x = y\) thì \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\)

Khi \(y = 4 - x\) thì \({x^2} - 4x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)\).

Câu 8 :

Tập nghiệm của phương trình  \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\) là:

  • A

    \(S = \left\{ {1; - 7} \right\}\)

  • B

    \(S = \left\{ { - 1;7} \right\}\)

  • C

    \(S = \left\{ 7 \right\}\)

  • D

    \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Áp dụng \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = {\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)^3} = x + y + 3\sqrt[3]{{xy}}\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\)

-Lập phương hai vế, sau đó biến đổi để đưa về dạng cơ bản \(\sqrt[3]{x} = a \) thì \(x = {a^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\)

\(  {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right)^3} = {2^3}\)

\( x + 1 + 7 - x + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right) = 8\)

Mà \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\) nên ta có phương trình

\(3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}. 2 + 8 = 8\\ 6\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0\)

\( \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0 \\ \left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\7 - x = 0\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;7} \right\}\).

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

  • A

    Có đỉnh nằm trên đường tròn 

  • B

    Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

  • C

    Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn

  • D

    Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu 10 :

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi:

  • A

    \(m \notin \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}\)

  • B

    \(m > 0\)

  • C

    \(m \ne 0\)

  • D

    \(m \ne \dfrac{1}{2}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{1 - 2m}} \ne 0\\1 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\2m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Câu 11 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\) . Tổng các giá trị của \(a\) thỏa mãn \(f\left( a \right) = 3 + \sqrt 5 \) là

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\sqrt 5 \)

  • C

    \(0\)

  • D

    \( - 2\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giá trị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \({y_0} = a{x_o}^2\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(f\left( a \right) = 3 + \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{a^2} = 3 + \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow {a^2} = 6 + 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow {a^2} =5+2\sqrt 5.1+1\)\(\Leftrightarrow {a^2} =(\sqrt 5)^2+2\sqrt 5.1+1^2\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt 5  + 1\\a =  - \sqrt 5  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tổng các giá trị của \(a\) là \(\left( {\sqrt 5  + 1} \right) + \left( { - \sqrt 5  - 1} \right) = 0\)

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) tạo với đường thẳng \(y = 2\) (theo chiều dương) một góc bằng \(135^\circ \) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(4\).

  • A

    \(y = x - 4\)

  • B

    \(y =  - x - 4\)

  • C

    \(y = x + 4\)

  • D

    \(y =  - x + 4\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Xác định hệ số \(a\) dựa vào góc tạo bởi đường thẳng \(d\) với đường thẳng cho trước tìm \(b\) dựa vào giao điểm với trục tung.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(135^\circ \) nên góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) cũng là \(135^\circ \)(do đường thẳng \(y = 1\) song song với trục \(Ox\)) nên \(a = \tan 135^\circ  =  - 1\)

\( \Rightarrow y =  - x + b\)

Vì đường thẳng \(d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(4\) nên \(b = 4\).

Từ đó \(d:y =  - x + 4\).

Câu 13 :

 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến với mọi \(x \in R?\)

  • A
    \(y = {\rm{\;}} - 2x + 4.\)
  • B
    \(y = \sqrt 3 x - 2.\)
  • C
    \(y = {\rm{\;}} - \left( {\frac{7}{2} + 2x} \right).\)
  • D
    \(y = \frac{{1 - x}}{3}\)

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Xét các đáp án ta thấy hàm số \(y = \sqrt 3 x - 2.\) có hệ số \(a = \sqrt 3 {\rm{\;}} > 0\) . Nên hàm số này đồng biến với mọi \(x \in R.\)

Câu 14 :

Phép tính \(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}} \) có kết quả là?

  • A

    \( - 33\)

  • B

    \( - 132\)

  • C

    \(132\)

  • D

    Không tồn tại.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

- Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}}  = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}}  = \left| {12} \right|.\left| { - 11} \right| = 12.11 = 132\).

Câu 15 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) và hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) . Tìm số bé hơn.

  • A

    \(12\)

  • B

    \(10\)

  • C

    \(21\)

  • D

    \(9\)

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi số thứ nhất là \(a;a \in {\mathbb{N}^*}\) ; số thứ hai là \(b;b \in {\mathbb{N}^*}\)

Giả sử \(a > b.\)

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) nên  ta có \(a - 2b = 3 \Rightarrow \)\(a = 2b + 3\)

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) nên ta có phương trình: \({a^2} - {b^2} = 360\,\,\left( * \right)\)

Thay \(a = 2b + 3\) vào (*) ta được \({\left( {2b + 3} \right)^2} - {b^2} = 360 \Leftrightarrow 3{b^2} + 12b - 351 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 1089 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 33\) nên \(b = \dfrac{{ - 6 + 33}}{3} = 9\left( {tm} \right)\) hoặc \(b = \dfrac{{ - 6 - 33}}{3} =  - 13\left( {ktm} \right)\)

Với \(b = 9 \Rightarrow a = 2.9 + 3 = 21\)

Vậy số bé hơn là \(9\) .

Câu 16 :

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 7\,cm,AB = \,5cm\). Tính $BC;\widehat C$ . 

  • A

    $BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'$

  • B

    $BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'$

  • C

    $BC = \sqrt {74} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$

  • D

    $BC = \sqrt {75} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Câu 17 :

 Tính thể tích V của hình cầu có bán kính \(R = 3\left( {cm} \right).\)

  • A
    \(V = 108\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • B
    \(V = 9\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • C
    \(V = 72\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
  • D
    \(V = 36\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.3^3} = 36\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Câu 18 :

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD,CE\) . Chọn khẳng định đúng.

  • A

    Bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn

  • B

    Năm điểm \(A,B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn

  • C

    Cả A, B đều sai

  • D

    Cả A, B đều đúng

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng:  Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) có \(DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có \(ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) nên bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn có bán kính \(R = \dfrac{{BC}}{2}\).

Ta thấy \(IA > ID\) nên điểm \(A\) không thuộc đường tròn trên.

Câu 19 :

Phương trình \({(2x + 1)^4}-8{(2x + 1)^2}-9 = 0\) có tổng các nghiệm là

  • A

    \(1\)

  • B

    \( - 2\)

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \(2\sqrt 2 \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt \({\left( {2x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Đưa về giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) , so sánh điều kiện \(t \ge 0\) rồi thay lại cách đặt để tìm \(x\).

Lời giải chi tiết :

Đặt \({\left( {2x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - 8t - 9 = 0\) (*)

Ta có  \(a - b + c = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0\) nên phương trình (*) có hai nghiệm \({t_1} = 9\left( {tm} \right);{t_2} = -1\left( {ktm} \right)\)

Thay lại cách đặt ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3\\2x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Suy ra tổng các nghiệm là \(1 + \left( { - 2} \right) =  - 1\).

Câu 20 :

Cho parabol\((P):y = 5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y =  - 4x - 4\). Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là:

  • A

    \(1\)

  • B

    \(0\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(2\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho parabol \((P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)\) và đường thẳng \(d:y = mx + n\). Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của \((d)\) và \((P)\), ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) :\({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n\)

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \((d):\)

\(5{x^2} =  - 4x - 4 \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + 4{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Xét \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\forall x\)  và dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} > 0;\forall x\)

Hay phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy không có giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \(\left( P \right)\).

Câu 21 :

 Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(x \le 0?\)

  • A
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 3x\)
  • B
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3x\)
  • C
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 9x\)
  • D
    \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 9x\)

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} {\rm{\;}} = \left| {3x} \right| = {\rm{\;}} - 3x{\mkern 1mu} \left( {Do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < 0} \right)\)

Câu 22 :

Đồ thị hàm số \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) đi qua điểm nào dưới đây?

  • A

    \(A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)\)

  • B

    \(B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\)

  • C

    \(C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)\)

  • D

    \(D\left( {2;10} \right)\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số \(y = ax + b(a \ne 0)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\).

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với \(A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)\). Thay \(x = 1;y = \dfrac{{22}}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{22}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{22}}{5}\) (Vô lý)

+) Với \(B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x = \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) (Luôn đúng)

+) Với \(C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x =  - \dfrac{2}{{25}};y =  - \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{{ - 2}}{{25}} - \dfrac{2}{5} =  - \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}\) (Vô lý)

+)Với \(D\left( {2;10} \right)\). Thay \(x = 2;y = 10\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.2 - \dfrac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{48}}{5} = 10\) (Vô lý)

\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\).

Câu 23 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là \(24c{m^2}\) thì diện tích mặt cầu là:

  • A

    \(4\pi \)

  • B

    \(4\)

  • C

    \(2\pi \)

  • D

    \(2\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và diện tích toàn phần của hình lập phương \({S_{tp}} = 6{a^2}\) với \(a\) là độ dài cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết :

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \(R = \dfrac{a}{2}\)  với \(a\) là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương \({S_{tp}} = 6{a^2} = 24 \Leftrightarrow a = 2cm\)

Suy ra \(R = \dfrac{2}{2} = 1cm\)

Khi đó ta có diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.1^2} = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Câu 24 :

Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8\) có nghiệm là

  • A

    Số lẻ dương

  • B

    Số chẵn dương

  • C

    Số lẻ âm

  • D

    Số vô tỉ

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31}  = 8\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 8\)

Nhận thấy \(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  \ge 3;\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 5\) nên \(\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 3 + 5\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  + \sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  \ge 8\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 9}  = 3\\\sqrt {6{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 25}  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Câu 25 :

 Đồ thị ở hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

  • A
    \(y = {\rm{\;}} - 2{x^2}\)
  • B
    \(y = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}{x^2}\)
  • C
    \(y = {\rm{\;}} - 4{x^2}\)
  • D
    \(y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\)

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Giả sử hàm số có dạng: \(y = a{x^2}\) . Ta có điểm \(\left( {2; - 2} \right)\) thuộc đồ thị đã cho nên: \( - 2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\)

Câu 26 :

Một cột đèn điện \(AB\) cao \(7m\) có bóng in trên mặt đất là \(AC\) dài \(4m.\) Hãy tính góc \(\widehat {BCA}\) (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

  • A

    \(59^\circ 45'\)

  • B

    \(62^\circ \)

  • C

    \(61^\circ 15'\)

  • D

    \(60^\circ 15'\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng  tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow \widehat C \simeq 60^\circ 15'\)

Câu 27 :

Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao \(h = 10cm\) và đường kính đáy là \(d= 6cm\) . Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \(\pi  \backsimeq 3,14\)

  • A

    \(110\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • B

    \(129\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • C

    \(96\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

  • D

    \(69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh\) và diện tích một đáy

Lời giải chi tiết :

Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{6}{2} = 3\,cm\)  nên diện tích một đáy là \(S_đ=\pi.R^2=9\pi\,(cm^2)\)

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,c{m^2}\)

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích toàn phần của hộp sữa là \({S_{tp}} = 9\pi  + 60\pi  = 69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Câu 28 :

Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).

  • A

    14 dãy

  • B

    15 dãy

  • C

    16 dãy

  • D

    17 dãy

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình - giải phương trình.

+ Chọn kết quả và trả lời.

Lời giải chi tiết :

Gọi số dãy ghế là x \((x \in N*)\) (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy là: \(\dfrac{{360}}{x}\) (ghế)

Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \(\dfrac{{360}}{x} + 1\)  (ghế)

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,(x + 1)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)\left( {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\\ \Leftrightarrow (x + 1)(360 + x) = 400x\\ \Leftrightarrow 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 39x + 360 = 0\\\Delta  = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,(ktm)\\{x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.\)

Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).

Câu 29 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

  • A

    $25a$

  • B

    $5a$

  • C

    $ - 25{a^3}$

  • D

    $ - 5a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$

Câu 30 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh \(\cot 50^\circ \) và \(\cot 46^\circ \)           

  • A

    \(\cot 46^\circ  = \cot 50^\circ \)

  • B

    \(\cot 46^\circ  > \cot 50^\circ \)

  • C

    \(\cot 46^\circ  < \cot 50^\circ \)

  • D

    \(\cot 46^\circ  \ge \cot 50^\circ \)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta ,\) ta có: \(\alpha  < \beta  \Leftrightarrow \cot \alpha  > \cot \beta \)

Lời giải chi tiết :

Vì \(46^\circ  < 50^\circ  \Leftrightarrow \cot 46^\circ  > \cot 50^\circ \).

Câu 31 :

Cho đường thẳng \(d\):\(y = \dfrac{1}{3}x - 10\). Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là

  • A

    \(3\)

  • B

    \(\dfrac{1}{3}\)

  • C

    \( - \dfrac{1}{3}\)

  • D

    \( - 3\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng  lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\)có \(a\) là hệ số góc.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng \(d\):\(y = \dfrac{1}{3}x - 10\) có hệ số góc là \(a = \dfrac{1}{3}\).

Câu 32 :

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\)  giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\)  giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

  • A

    \(9\) giờ

  • B

    \(12\) giờ

  • C

    \(10\) giờ

  • D

    \(8\) giờ

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\).

Trong một giờ:     

-Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).

- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 2}}\) ( bể).

- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{2}{{15}}\) ( bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{11}}{{60}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)

\( \Rightarrow 120x - 120 = 11{x^2} - 22x\) \( \Leftrightarrow 11{x^2} - 142x + 120 = 0\) có \(\Delta ' = 3721 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 61\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \(10\)  giờ bể đầy nước.

Câu 33 :

Phát biểu nào sau đây đúng nhất

  • A

    Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp

  • B

    Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp

  • C

    Cả A và B đều đúng

  • D

    Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp) ⇒ Câu D sai

Câu 34 :

Tính \(x\) trong hình vẽ sau:

  • A

    \(x = 14\)

  • B

    \(x = 13\)

  • C

    \(x = 12\)

  • D

    \(x = \sqrt {145} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính \(x\) theo hệ thức lượng \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12\)

Vậy \(x = 12\).

Câu 35 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) và \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3.x}}{2}\). So sánh \(f\left( { - 1} \right)\) và \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • A

    \(f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • B

    \(f\left( { - 1} \right) > h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • C

    \(f\left( { - 1} \right) < h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)

  • D

    Không đủ điều kiện so sánh

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách tính giá  trị hàm số tại một điểm

Để tính giá trị \({y_0}\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) ta thay \(x = {x_0}\) vào \(f\left( x \right)\), ta được \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\).

So sánh các giá trị tìm được

Lời giải chi tiết :

Thay \(x =  - 1\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = 6.{\left( { - 1} \right)^4} = 6\).

Thay \(x = \dfrac{2}{3}\) vào hàm số \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3x}}{2}\) ta được \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 7 - \dfrac{{3.\dfrac{2}{3}}}{2} = 6\).

Nên \(f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\).

Câu 36 :

Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 2 = 0\) và \({x^2} + 2x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.

  • A

    \(1\)

  • B

    \( - 3\)

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \(3\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình

Lời giải chi tiết :

Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow (m - 2){x_0} + 2 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 2)(x_0-1)= 0\)

+) Nếu \(m = 2\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình \({x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} =  - 1\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy \(m = 2\) không thỏa mãn.

+) Nếu \(m \ne 2\) thì \({x_0} = 1\).

Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\) ta được \(1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Vậy \(m =  - 3\) thì hai phương trình có nghiệm chung.

Câu 37 :

Tìm cặp giá trị \((m;n)\)  để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\x + \dfrac{1}{3}y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.(I)\) và

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - ny = 1\\3mx + my = 1\end{array} \right.(II)$

  • A

    \(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\)           

  • B

    \(\left( 1;-1 \right)\)

  • C

    \(( - 1;1)\)

  • D

    \(\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình (I) sau đó thay nghiệm tìm được vào hệ phương trình (II)  để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết :

Giải hệ phương trình (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y - \left( {3x + y} \right) = 3 - 1\\3x + y = 1\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}2y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\3x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (0; 1) cũng là nghiệm của phương trình (II).

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - n.1 = 1\\0 + m.1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n =  - 1\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(n =  - 1;m =1\).

Câu 38 :

Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} \).

  • A

    \(2 + 2\sqrt {11} \)

  • B

    \(8\)

  • C

    \(2\)

  • D

    \(2\sqrt {11} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

+ So sánh hai căn bậc hai \(\sqrt A  > \sqrt B  \Leftrightarrow A > B\) với \(A,B\) không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {3 - \sqrt {11} } \right|\)

+) \(5 = \sqrt {25}  > \sqrt {11}  \Rightarrow 5 - \sqrt {11}  > 0 \Leftrightarrow \left| {5 - \sqrt {11} } \right| = 5 - \sqrt {11} \)

+)  \(3 = \sqrt 9  < \sqrt {11}  \Rightarrow 3 - \sqrt {11}  < 0 \Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = \sqrt {11}  - 3\)

Nên \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {11}  - 3} \right)}^2}}  = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {\sqrt {11}  - 3} \right|\)\( = 5 - \sqrt {11}  + \sqrt {11}  - 3 = 2\).

Câu 39 :

Đưa thừa số \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \) (\(x < 0\)) vào trong dấu căn ta được:

  • A

    \(\sqrt {\dfrac{{300}}{x}} \)

  • B

    \(\sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \)

  • C

    \( - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \)

  • D

    \( - \sqrt {\dfrac{{ - 60}}{x}} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\)

+) \(A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} \) với \(A < 0\) và \(B \ge 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \)\( =  - \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}.\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}}  = \sqrt {25{x^2}\left( {\dfrac{{ - 12}}{x^3}} \right)}  =  - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \).

Câu 40 :

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

  • A

    Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân

  • B

    $\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$

  • C

    $\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$       

  • D

    Tất cả các câu đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong, ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm trong, ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác AOB cân tại O nên dễ dàng chỉ ra được $sđ\overparen{AD} = sđ\overparen{DB}$

$\begin{array}{l}\widehat {IFN} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{AD}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{BD}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} = \widehat {INF}\end{array}$

Suy ra tam giác FIN cân tại I

Ta có:

$\begin{array}{l}{\widehat N_1} + \widehat {{N_3}} = {90^0} \Rightarrow {\widehat N_1} + \widehat {{C_4}} = {90^0}\\\widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} - sđ\overparen{BN}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{CN}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC}\\ \Rightarrow \widehat {{C_4}} + \widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} + \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC} \\= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{N_1}}\end{array}$

Do đó \(\Delta INE\) cân tại I.

close