Câu hỏi trước
Nội dung từ Loigiaihay.Com
Câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A(3\cos \alpha ;0),B(0;2\sin \alpha )\) với \(\alpha \) thay đổi. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0\) là:
- A Một elip có phương trình \({{{x^2}} \over 4} + {{9{y^2}} \over {100}} = 1\).
- B Một elip có phương trình \({{9{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\).
- C Một hypebol có phương trình \({{{x^2}} \over 4} - {{9{y^2}} \over {100}} = 1\).
- D Một hypebol có phương trình \({{{x^2}} \over 4} + {{9{y^2}} \over {100}} = - 1\).
Phương pháp giải:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Biến đổi tương đương biểu thức \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0\), sau đó làm mất tham số \(\alpha \).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \left( {{x_0} - 3\cos \alpha ;{y_0}} \right) \cr & \overrightarrow {MB} = \left( { - {x_0};2\sin \alpha - {y_0}} \right) \cr} \)
Suy ra \(2\overrightarrow {AM} + 5\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2\left( {{x_0} - 3\cos \alpha } \right) - 5{x_0} = 0 \hfill \cr 2{y_0} + 5\left( {2\sin \alpha - {y_0}} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{x_0} - 6\cos \alpha = 0 \hfill \cr 10\sin \alpha - 3{y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \cos \alpha = - {1 \over 2}{x_0} \hfill \cr \sin \alpha = {3 \over {10}}{y_0} \hfill \cr} \right.\)
Mặt khác ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\) nên ta có: \({{x_0^2} \over 4} + {{9y_0^2} \over {100}} = 1\)
Đáp án: A.