Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$.

Lời giải chi tiết:

Elip có  hai tiêu điểm là ${F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)$ suy ra $c = 1$

 Elip có tâm sai $e = {1 \over 5}$ suy ra ${c \over a} = {1 \over 5} \Rightarrow a = 5$

Mặt khác ta có ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24$

Vậy elip có phương trình là ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {24}} = 1$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$.

Lời giải chi tiết:

Elip có một đỉnh là $B(0; - 2)$ suy ra $b = 2$.

Elip có tiêu cự là  $2\sqrt 5$ suy ra $c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5$.

Mặt khác ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9$.

Vậy elip có dạng ${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1$.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$

Lời giải chi tiết:

Elip có một đỉnh là $A(0; - 4)$ suy ra $b = 4$.

Tâm sai  $e = {3 \over 5}$ suy ra ta có ${c \over a} = {3 \over 5}$. Vì $a,c > 0$ nên ta có  ${{{c^2}} \over {{a^2}}} = {9 \over {25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0$

Mặt khác ta có ${a^2} - {c^2} = {b^2} = 16$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ \matrix{  9{a^2} - 25{c^2} = 0 \hfill \cr   {a^2} - {c^2} = 16 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2} = 25 \hfill \cr   {c^2} = 9 \hfill \cr}  \right.$.

Vậy phương trình của elip là: ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$.

Lời giải chi tiết:

Elip có đỉnh là $A(2;0)$ suy ra $a = 2$. Phương trình elip cần tìm có dạng  ${{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M( - 1;{{\sqrt 3 } \over 2})$ nên ta có ${1 \over 4} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1$

Vậy elip có phương trình là ${{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1$

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$.

Chú ý: Elip đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ tức là ta có ${{x_0^2} \over {{a^2}}} + {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1$

Lời giải chi tiết:

Phương trình elip cần tìm có dạng  ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M\left( {2\sqrt 2 ;{1 \over 3}} \right)$ nên ta có ${8 \over {{a^2}}} + {1 \over {9{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $N\left( {2;{{\sqrt 5 } \over 3}} \right)$ nên ta có ${4 \over {{a^2}}} + {5 \over {9{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \matrix{  {8 \over {{a^2}}} + {1 \over {9{b^2}}} = 1 \hfill \cr   {4 \over {{a^2}}} + {5 \over {9{b^2}}} = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2} = 9 \hfill \cr   {b^2} = 1 \hfill \cr}  \right.$

Vậy elip có phương trình là ${{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1$

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đưa phương trình elip về dạng chính tắc.

Xác định các hệ số a, b, c.

Sử dụng các công thức $M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c$

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $M{F_1}{F_2}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400$.

$(E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 4$

Mà ${a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow c = 3$

${F_1}{F_2} = 2c = 6$

$M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {3 \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {3 \over 5}{x_0}$

Điểm $M \in (E)$ nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc ${60^0}\( \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$

Áp dụng định lý Côsin, ta có: ${F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^0}$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {6^2} = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)\cos {60^0}  \cr   &  \Leftrightarrow 36 = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right).{1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 36 = 25 + 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} - 25 + {{9{x_0}^2} \over {25}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{27{x_0}^2} \over {25}} = 11 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{275} \over {27}} \Leftrightarrow {x_0} =  \pm \sqrt {{{275} \over {27}}}  \cr}$

 Ta có: $16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow 16.{{275} \over {27}} + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{256} \over {27}} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm \sqrt {{{256} \over {27}}}$

Vậy, các điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:

${M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)$

Chọn: A

Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c.

Sử dụng các công thức $M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c$

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $M{F_1}{F_2}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1$.

$(E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2$

Mà ${a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21}$

${F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {21}$

$M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}$

Điểm $M \in (E)$ nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc ${120^0} \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}$

Áp dụng định lý Côsin, ta có: ${F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {120^0}$

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {21} } \right)^2} = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\cos {120^0}  \cr   &  \Leftrightarrow 84 = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right).{{ - 1} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 84 = 25 + 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - {{21{x_0}^2} \over {25}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{21{x_0}^2} \over {25}} = 9 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{75} \over 7} \Leftrightarrow {x_0} =  \pm \sqrt {{{75} \over 7}}  \cr}$

 Ta có: ${{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Rightarrow {{{{75} \over 7}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{16} \over 7} \Leftrightarrow {y_0} =  \pm {4 \over {\sqrt 7 }}$

Vậy, có 4 điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:

${M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right)$

Chọn: D.

Phương pháp giải:

Lấy $A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)$, xác định điểm B đối xứng với A qua Ox.

Tam giác ABC đều $\Leftrightarrow AB = AC$, giải phương trình tìm ${x_0};{y_0}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên $B({x_0}; - {y_0})$.

Ta có: $A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{C^2} = {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2$

Vì $A \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {y_0}^2 = 1 \Rightarrow {y_0}^2 = 1 - {{{x_0}^2} \over 4}\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì $AB = AC \Rightarrow {({x_0} - 2)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được :

$7{x_0}^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_0} = 2 \hfill \cr   {x_0} = {2 \over 7} \hfill \cr}  \right.$

Với ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0\,\,(L)$ vì trùng với điểm C.

Với ${x_0} = {2 \over 7} \Rightarrow {y_0} =  \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}$.

Vậy, $A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)$ hoặc $A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),\,\,B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)$. 

Chọn: C.

Phương pháp giải:

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)$, tính $d\left( {M;\left( D \right)} \right) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}$

Sử dụng các bất đẳng thức $\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a.b \ge 0$ và BĐT Bunhia-copxki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {a \over x} = {b \over y}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1$.

Khoảng cách từ M đến D:

$\eqalign{  & d(M,D) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt 5 }} \le {{\left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\left| {5.{{{x_0}} \over 5} + \left( { - 6} \right){{{y_0}} \over 3}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} \le {{\sqrt {({5^2} + {6^2})\left( {{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9}} \right)}  + 12} \over {\sqrt 5 }}  \cr   &  = {{\sqrt {(25 + 36).1}  + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {61}  + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr}$.

Vậy,

$d{(M,D)_{\max }} = {{\sqrt {61}  + 12} \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - 2{y_0}} \right).12 \ge 0 \hfill \cr   {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr   {{{{{x_0}} \over 5}} \over 5} = {{{{{y_0}} \over 3}} \over { - 6}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr   {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr   18{x_0} + 25{y_0} = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr   {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr   {x_0} =  - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr   {{{{\left( { - {{25} \over {18}}{y_0}} \right)}^2}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr   {x_0} =  - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr   {y_0}^2 = {{324} \over {661}} \hfill \cr   {x_0} =  - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr   {y_0} =  \pm \sqrt {{{324} \over {661}}}  \hfill \cr   {x_0} =  - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \left\{ \matrix{  {x_0} =  - {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}}  \hfill \cr   {y_0} = \sqrt {{{324} \over {661}}}  \hfill \cr}  \right.\,\,(L) \hfill \cr   \left\{ \matrix{  {x_0} = {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}}  \hfill \cr   {y_0} =  - \sqrt {{{324} \over {661}}}  \hfill \cr}  \right.\,\,(TM) \hfill \cr}  \right.$

Khi đó, $M\left( {{{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} ; - \sqrt {{{324} \over {661}}} } \right)$

Chọn: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${S_{ABC}} = {1 \over 2}.d(A;BC).BC = {1 \over 2}d(A,\Delta ).BC$

Nhận xét: ${S_{ABC}}$ đạt GTLN khi và chỉ khi $d(A;\Delta )$ lớn nhất.

$A({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,\,{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1$.

Khoảng cách từ A đến D:

$\eqalign{  & d(A,\Delta ) = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt 3 }} \le {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {2\sqrt 2 .{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }} + \left( { - 2\sqrt 2 } \right).{{{y_0}} \over 2}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }}  \cr   &  \le {{\sqrt {\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left( {{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4}} \right)}  + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt {16.1}  + 2} \over {\sqrt 3 }} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \cr}$

$\eqalign{  & d{(A;\Delta )_{{\rm{Max}}}} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left( {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right).2 \ge 0 \hfill \cr   {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr   {{{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }}} \over {2\sqrt 2 }} = {{{{{y_0}} \over 2}} \over { - 2\sqrt 2 }} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr   {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr   {x_0} =  - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr   {{2{y_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr   {x_0} =  - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr   {y_0}^2 = 2 \hfill \cr   {x_0} =  - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr   {y_0} =  \pm \sqrt 2  \hfill \cr   {x_0} =  - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  \left\{ \matrix{  {x_0} = 2 \hfill \cr   {y_0} =  - \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.\,(TM) \hfill \cr   \left\{ \matrix{  {x_0} =  - 2 \hfill \cr   {y_0} = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.(L) \hfill \cr}  \right. \cr}$

Khi đó, $A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)$

Chọn: A

Phương pháp giải:

Gọi $A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{y_0} > 0} \right)$, xác định điểm B đối xứng với A qua trục Ox.

Tam giác $AB{F_1}$ đều $\Leftrightarrow AB = A{F_1}$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A({x_0};{y_0}),\,\,{y_0} > 0$. Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên $B({x_0}; - {y_0})$.

$(E):13{x^2} + 16{y^2} = 208 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over {13}} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = \sqrt {13}  \Rightarrow c = \sqrt 3$

$\Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$

Ta có: $A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{F_1}^2 = {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2$

Vì $A \in \left( E \right) \Rightarrow 13{x_0}^2 + 16{y_0}^2 = 208 \Rightarrow {y_0}^2 = 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2\,\,(1)$

Vì tam giác $AB{F_1}$ là tam giác đều $\Rightarrow AB = A{F_1} \Rightarrow {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,(2)$

Thay (1) vào (2) ta được : ${\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2 = 4\left( {13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2} \right) \Leftrightarrow {{55} \over {16}}{x_0}^2 + 2\sqrt 3 {x_0} - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \hfill \cr   {x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \hfill \cr}  \right.$

+) ${x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \Rightarrow \left[ \matrix{  {y_0} = {{13} \over 5} \hfill \cr   {y_0} =  - {{13} \over 5}\,(L) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,$

 +) ${x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \Rightarrow \left[ \matrix{  {y_0} = {{13} \over {11}} \hfill \cr   {y_0} =  - {{13} \over {11}}\,(L) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,$

Vậy, $A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,$ hoặc $A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,$.

Chọn: B.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Trong đó: trục lớn ${A_1}{A_2} = 2a$; trục nhỏ ${B_1}{B_2} = 2b$; tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c$

Lời giải chi tiết:

Elip có tiêu cự bằng  $16 \Rightarrow 2c = 16 \Rightarrow c = 8$

Elip có trục lớn bằng  $20 \Rightarrow 2a = 20 \Rightarrow a = 10.$

$\Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {10^2} - {8^2} = 36$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Giả sử $\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. $M \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\,\,\left( 1 \right)$.

* ${F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4 \Rightarrow {c^2} = 16 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 16\,\,\left( 2 \right)$

* Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 9\\{a^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Giả sử $\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

$\begin{array}{l}*\,\,M \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 16\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,N \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = 9\,\,\left( 2 \right)\end{array}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Trục lớn bằng 16 $\Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$.

* $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{8}$. Với $a = 8 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow {c^2} = 25$.

$\Rightarrow {a^2} - {b^2} = 25 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - 25 = 64 - 25 = 39$.

* Phương trình $\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{39}} = 1$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Trục lớn có đỉnh $A\left( {4;0} \right)$ $\Rightarrow a = 4 \Rightarrow {a^2} = 16$  (1).

* $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}$. Với $= 4 \Rightarrow c = \sqrt 7  \Rightarrow {c^2} = 7$.

$\Rightarrow {a^2} - {b^2} = 7 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - 7 = 9$.

* Phương trình $\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Trục bé bằng 8 $\Rightarrow 2b = 8 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow {b^2} = 16$.

* Tiêu cự bằng 4 $\Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow {c^2} = 4$

$\Rightarrow {a^2} - {b^2} = 4 \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 4 = 20$.

* Phương trình $\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 2 = 23 \Rightarrow c = \sqrt {23}$

$\Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt {23} ;0} \right);\,\,{F_2}\left( {\sqrt {23} ;0} \right)$

* Giả sử $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{x_M^2}}{{25}} + \dfrac{{y_M^2}}{2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)$

$*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {{x_M} + \sqrt {23} ;{y_M}} \right)\\\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {{x_M} - \sqrt {23} ;{y_M}} \right)\end{array} \right.;\,\,\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0 \Leftrightarrow x_M^2 + y_M^2 = 23\,\,\left( 2 \right)$

* Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_M^2 = \dfrac{{525}}{{23}}\\y_M^2 = \dfrac{4}{{23}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{523}}{{23}}} \\y = \sqrt {\dfrac{4}{{23}}} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\sqrt {\dfrac{{523}}{{23}}} ;\sqrt {\dfrac{4}{{23}}} } \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Ta có $a = 3,\,\,b = 1 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 8 \Rightarrow c = \sqrt 8  \Rightarrow e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 8 }}{3}$.

* Giả sử $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{{x_M^2}}{9} + \dfrac{{y_M^2}}{1} = 1\,\,\,\left( 1 \right)$.

* $M{F_1} = 2M{F_2} \Leftrightarrow a + e{x_M} = 2\left( {a - e{x_M}} \right) \Rightarrow 3e{x_M} = a$

$\Rightarrow {x_M} = \dfrac{e}{{3a}} = \dfrac{3}{{3.\dfrac{{\sqrt 8 }}{3}}} = \dfrac{3}{{\sqrt 8 }}\,\,\left( 2 \right)$

* Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4};\dfrac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

* Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left( d \right)\\\left( E \right)\end{array} \right.$. Từ $\left( d \right) \Rightarrow x = 2y + 2\,\,\left( * \right)$. Thay vào $\left( E \right)$ ta có:

$5{x^2} + 4{y^2} = 20 \Rightarrow 5{\left( {2y + 2} \right)^2} + 4{y^2} = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$

* $\left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\\y =  - \dfrac{5}{3} \Rightarrow x =  - \dfrac{4}{3} \Rightarrow B\left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P =  - 1$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$. Tìm $a,b$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình elip cần tìm có dạng  ${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  $4ab$.

Theo bài ra ta có $4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4$

Elip có $e = {{\sqrt {12} } \over 4}$ suy ra ${c \over a} = {{\sqrt {12} } \over 4}$. Vì $c,a > 0$ nên ta có ${{{c^2}} \over {{a^2}}} = {{12} \over {16}} = {3 \over 4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0$

Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   3{a^2} - 4{c^2} = 0 \hfill \cr   {a^2} - {b^2} = {c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   {a^2} - {b^2} = {3 \over 4}{a^2} \hfill \cr   3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2}{b^2} = 4 \hfill \cr   {a^2} - 4{b^2} = 0 \hfill \cr   3{a^2} = 4{c^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {a^2} = 4 \hfill \cr   {b^2} = 1 \hfill \cr   {c^2} = 3 \hfill \cr}  \right.$

Vậy elip có phương trình là ${{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1$.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Biến đổi tương đương  biểu thức $2\overrightarrow {AM}  + 5\overrightarrow {MB}  = \vec 0$, sau đó làm mất tham số $\alpha$. 

Lời giải chi tiết:

Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ ta có:

$\eqalign{  & \overrightarrow {AM}  = \left( {{x_0} - 3\cos \alpha ;{y_0}} \right)  \cr   & \overrightarrow {MB}  = \left( { - {x_0};2\sin \alpha  - {y_0}} \right) \cr}$

Suy ra  $2\overrightarrow {AM}  + 5\overrightarrow {MB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2\left( {{x_0} - 3\cos \alpha } \right) - 5{x_0} = 0 \hfill \cr   2{y_0} + 5\left( {2\sin \alpha  - {y_0}} \right) = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 3{x_0} - 6\cos \alpha  = 0 \hfill \cr   10\sin \alpha  - 3{y_0} = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \cos \alpha  =  - {1 \over 2}{x_0} \hfill \cr   \sin \alpha  = {3 \over {10}}{y_0} \hfill \cr}  \right.$

Mặt khác ta có ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1$ nên ta có: ${{x_0^2} \over 4} + {{9y_0^2} \over {100}} = 1$

Đáp án: A.

Phương pháp giải:

Xác định mối quan hệ giữa A và B để tam giác OAB cân tại O.

Gọi điểm $A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)$

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow$ tọa độ điểm H.

${S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}OH.AB$, sử dụng BĐT Cô si cho hai số không âm: $\sqrt {ab}  \le {{{a^2} + {b^2}} \over 2}$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = b$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác OAB cân tại O, A và B thuộc (E) , có hoành độ dương, suy ra: A đối xứng với B qua Ox.

Gọi $A({x_0};{y_0}) \Rightarrow B({x_0}; - {y_0});{\rm{ (}}{{\rm{x}}_0} > 0)$.

$A \in (E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{y_0}^2} \over 1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = {{\sqrt {4 - {x_0}^2} } \over 2}$

Ta có $AB = 2\left| {{y_0}} \right| = \sqrt {4 - {x_0}^2}$

Gọi H là trung điểm AB thì  $H\left( {{x_0};0} \right)$

$\Rightarrow OH = {x_0} \Rightarrow {S_{OAB}} = {1 \over 2}.OH.AB = {1 \over 2}{x_0}.\sqrt {4 - {x_0}^2}  = {1 \over 2}\sqrt {{x_0}^2(4 - {x_0}^2)}  \le {1 \over 2}.{{{x_0}^2 + 4 - {x_0}^2} \over 2} = 1$.

Đẳng thức xảy ra khi $x_0^2 = 4 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_0} =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}$.

Vậy $A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)$ hoặc $A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)$.

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Cho elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và đường thẳng $d:Ax + By + C = 0$.

Điều kiện để đường thẳng $d$ tiếp xúc với $\left( E \right)$ là ${A^2}{a^2} + {B^2}{b^2} = {C^2}.$

Lời giải chi tiết:

Điểm $M$ chuyển động trên trục $Ox$ và điểm $N$ chuyển động trên trục $Oy$.

$\Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right),\,N\left( {0;\,\,n} \right)$ với $m > 0,\,\,n > 0$.

Phương trình đường thẳng $MN$: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$

Để đường thẳng $MN$ tiếp xúc với elip $\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ thì: ${\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} \cdot 16 + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} \cdot 9 = 1$

Ta có: $M\left( {m;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0;\,\,n} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - m;\,\,n} \right)$$\Rightarrow MN = \sqrt {{m^2} + {n^2}}$

$\Rightarrow M{N^2} = {m^2} + {n^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right).1$$= \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{16}}{{{m^2}}} + \frac{9}{{{n^2}}}} \right)$$= 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$M{N^2} = 25 + 16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} + 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \ge 25 + 2\sqrt {16 \cdot \frac{{{n^2}}}{{{m^2}}} \cdot 9 \cdot \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}}  = 49$

$\Rightarrow M{N^2} \ge 49$

$\Rightarrow MN \ge 7$

Dấu “$=$” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16{n^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{9{m^2}}}{{{n^2}}}\\{m^2} + {n^2} = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 7 \\n = \sqrt {21} \end{array} \right.$ (thõa mãn điều kiện)

Vậy $M\left( {2\sqrt 7 ;\,\,0} \right)$ và $N\left( {0;\,\,\sqrt {21} } \right)$ thì $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $7.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Gọi $B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)$ với $\,{y_0} > 0$.

+) Vì $A$ là một điểm nằm trên trục $Ox$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.

+) Xác định khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

+) Để $\Delta ABC$ đều thì $\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right)$ với $\,{y_0} > 0$.

Vì $B,\,\,C$ nằm trên elip $\left( E \right)$ nên ta có: $\frac{{x_0^2}}{9} + \frac{{y_0^2}}{3} = 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 3y_0^2 = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$B\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,C\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {{x_0} - {x_0};\, - {y_0} - {y_0}} \right) = \left( {0;\,\, - 2{y_0}} \right)$

Ta có: $\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm qua}\nolimits} \,B\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {2{y_0};\,\,0} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) + 0.\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2{y_0}\left( {x - {x_0}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - {x_0} = 0$

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $x - {x_0} = 0$

Vì $A\left( {3;\,\,0} \right)$ nên $A \in Ox$, $B$ và $C$ đối xứng qua $Ox$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A$.

Để $\Delta ABC$ là tam giác đều thì $\tan {60^0} = \frac{{d\left( {A,\,\,BC} \right)}}{{\frac{{BC}}{2}}}$

$\Rightarrow \tan {60^0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\frac{{2{y_0}}}{2}}} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{{y_0}}} \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = {y_0}\sqrt 3  \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$x_0^2 + 3.{\left( {\frac{{\left| {3 - {x_0}} \right|}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow x_0^2 + {\left( {3 - {x_0}} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow x_0^2 + 9 - 6{x_0} + x_0^2 = 9$$\Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 3\end{array} \right.$

+) Với ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = \sqrt 3  \Rightarrow B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)$

+) Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow$Loại

Vậy $B\left( {0;\,\,\sqrt 3 } \right),\,\,C\left( {0;\,\, - \sqrt 3 } \right)$.

Chọn  A.