Bài 7 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$, có $AD = 2a, AB = BC = a$. Trên tia $Ax$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ lấy một điểm $S$. Gọi $C',D'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SC$ và $SD$ . Chứng minh rằng :

a) $\widehat {SBC} = \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}$

b) $AD’,  AC’$ và $AB$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng $C’D’$ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi $S$ di động trên tia Ax.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

$\left. \matrix{SA \bot BC \hfill \cr AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SB \bot BC$ (định lí 3 đường vuông góc) $\Rightarrow \widehat {SBC} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$.

Tứ giác $ABCM$ có $AB//=CM$ nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat A = {90^0},AB = CB$ nên $ABCM$ là hình vuông

$\Rightarrow CM = a  \Rightarrow CM = {1 \over 2}A{\rm{D}}$ 

Tam giác $ACD$ có trung tuyến $CM$ bằng ${1 \over 2}$ cạnh tương ứng nên nó là tam giác vuông, hay tam giác $ACD$ vuông tại $C$ có $AC ⊥ CD$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$

$\left. \matrix{ SA \bot CD \hfill \cr AC \bot C{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SC \bot C{\rm{D}}$ (định lí 3 đường vuông góc)

$\Rightarrow \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta SCD$ vuông tại $C$.

b) Ta có :

$\left. \matrix{ AB \bot SA \hfill \cr AB \bot A{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{ AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot S{\rm{D}}\,\,\,\,\,(1)$

$\left. \matrix{ C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr C{\rm{D}} \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{ C{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \hfill \cr AC' \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot C{\rm{D}}$

Kết hợp với $AC’ ⊥ SC$ suy ra $AC'\bot (SCD)$

$\left. \matrix{AC' \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr S{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot S{\rm{D\,\,\,\,\,(2)}}$

Giả thiết cho $AD’ ⊥ SD$    (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng $AB, AD’, AC’$ cùng vuông góc với $SD$ và chúng cùng đi qua $A$.

Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng $( P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $SD$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $C’D’$ với $AB$.

$K ∈ C’D’ ⇒ K ∈ (SCD)$

$K  ∈ AB ⇒ K ∈ (ABCD)$

$⇒ K$ là giao điểm của hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$

Mà $\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD$$\Rightarrow K \in CD$.

Vậy ba đường thẳng $AB, CD, C’D’$ đồng quy tại $K$ và $AB, CD$ cố định suy ra $K$ cố định.

Vậy khi $S$ chạy trên $Ax$ thì $C’D’$ luôn đi qua điểm cố định là giao điểm $K$ của $AB$ và $CD$.

hoctot.nam.name.vn