Bài 6 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$.

a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $BD'$ và $B'C$.

b)Tính khoảng cách của hai đường thẳng $BD'$ và $B'C$

Lời giải chi tiết

a) $AB ⊥ (BCC’B’) ⇒ AB ⊥ B’C$

$BCC’B’$ là hình vuông có $BC’ ⊥ B’C$

$⇒ B’C ⊥ (ABC’D’)$

Trong mặt phẳng $(ABC’D’)$, kẻ $IK ⊥ BD’$.

Vì $B’C ⊥ (ABC’D’) ⇒ B’C ⊥ IK$

Kết hợp với $IK ⊥ BD’$ $⇒ IK$ là đường vuông góc chung của $B’C$ và $BD’$

b) Ta có: $d\left( {B'C,BD'} \right) = IK$

$C'B = \sqrt {C{B^2} + B'{B^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

$D'B = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}}$ $= \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

Xét $∆BIK$ và $∆BD’C’$ có:

B chung

$\widehat {BC'D'} = \widehat {BKI} = {90^0}$

Suy ra $∆BIK \backsim ∆BD’C’$ (g-g)

$\eqalign{ & \Rightarrow {{IK} \over {D'C'}} = {{BI} \over {B{\rm{D}}'}} \cr & \Rightarrow IK = {{BI.D'C'} \over {B{\rm{D}}'}} \cr}$.

Mà $BI = \dfrac{1}{2}BC' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ nên:

$IK = \dfrac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$

Vậy $d\left( {B'C,BD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$

hoctot.nam.name.vn