Bài 6 trang 93 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng $3x – 4y + 12 = 0$ và $12x+5y-7 = 0.$

Lời giải chi tiết

Gọi $\displaystyle M(x; y)$ thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.

Khi đó, khoảng cách từ $\displaystyle M$ đến $\displaystyle d_1 : 3x  - 4y + 12 = 0$ là:

$\displaystyle d(M,{d_1}) = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }}$ $\displaystyle = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}$

Khoảng cách từ $\displaystyle M$ đến $\displaystyle d_2: 12x + 15y – 7 = 0$ là:

$\displaystyle d(M,{d_2}) = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }}$ $\displaystyle  = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}$

Ta có: $\displaystyle M$ thuộc đường  phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $\displaystyle d_1$ và $\displaystyle d_2$ nên cách đều hai đường thẳng đó.

Suy ra: 

$\displaystyle \eqalign{ & d(M,{d_1}) = d(M,{d_2})\cr& \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr {{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right.\cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 13\left( {3x - 4y + 12} \right) = 5\left( {12x + 5y - 7} \right)\\ 13\left( {3x - 4y + 12} \right) = - 5\left( {12x + 5y - 7} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 39x - 52y + 156 = 60x + 25y - 35\\ 39x - 52y + 156 = - 60x - 25y + 35 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 21x + 77y - 191 = 0\\ 99x - 27y + 121 = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi $\displaystyle d_1$ và $\displaystyle d_2$ là:

$\displaystyle \Delta _1: 21x + 77y – 191 = 0$

$\displaystyle \Delta _2: 99x – 27y + 121 = 0$

HocTot.Nam.Name.Vn