Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10

LG a

Tìm tọa độ điểm $G$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm tìm $G$.

Sử dụng tính chất $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0$ và $\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0$ tìm tọa độ điểm $H$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $G(x_G; \, y_G)$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABC.$ Khi đó ta có:

$\eqalign{ & {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr  & {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr}$

Vậy $G\left(1; \, \, {2 \over 3}\right)$

Gọi $(x; y)$ là tọa độ của $H$

$\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 4; \, y - 3);\cr&\overrightarrow {BC} = ( - 5; \,  - 15) \cr  & \overrightarrow {BH} = (x - 2; \, y - 7);\cr&\overrightarrow {AC} = ( - 7; \, - 11) \cr  & \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC}\cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr  & \Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0 \cr  & \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr  & \Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 \cr&\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr}$

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ x +3 y - 13 = 0 \hfill \cr  7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(13;0)$

Cách khác:

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 15} \right)$

$AH \bot BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {BC}  = \left( {1;3} \right)$ làm VTPT.

Mà $AH$ đi qua $A\left( {4;3} \right)$ nên $1\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0$

$\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7; - 11} \right)$

$BH \bot AC$ nên $BH$ nhận $\overrightarrow {{n_2}}  =  - \overrightarrow {AC}  = \left( {7;11} \right)$ làm VTPT.

Mà $BH$ đi qua $B\left( {2;7} \right)$ nên $7\left( {x - 2} \right) + 11\left( {y - 7} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0$

$H = AH \cap BH$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 13 = 0\\7x + 11y - 91 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow H\left( {13;0} \right)$ .

LG b

Tìm $T$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh $T, G, H$ thẳng hàng.

Phương pháp giải:

 $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp thì $TA=TB=TC$.

Lời giải chi tiết:

Tâm $T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện

$TA = TB = TC$$⇒ TA^2= TB^2= TC^2$

$⇒ {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2}$$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9$ $= {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 14y + 49$

$\Leftrightarrow  - 4x + 8y - 28 = 0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0$

${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2}$$= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9$ $= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} + 16y + 64$

$\Leftrightarrow  - 14x - 22y - 48 = 0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0$

Do đó tọa độ tâm $T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{ x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr  7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)$

Ta có: $\overrightarrow {TH}  = ( 18;-1);\overrightarrow {TG}  = \left( {6; - \dfrac{1}{3}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG}$

Vậy ba điểm $H, G, T$ thẳng hàng.

LG c

Sử dụng công thức phương trình đường tròn biết tâm và bán kính.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $T(-5; 1)$, bán kính $R = AT$

${R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {1-3} \right)^2}$$= 85$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

$(x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85$

HocTot.Nam.Name.Vn