Bài 4 trang 27 SGK Hình học 10

Đề bài

Chứng minh rằng $|\overrightarrow a  + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} .$

Lời giải chi tiết

Từ một điểm $O$ trong mặt phẳng ta dựng vectơ:

$\eqalign{ & \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr  & \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr}$

Và dựng hình bình hành $OACB$ $\Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OB}$

Như vậy:

$\eqalign{ & OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr & OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} |  = |\overrightarrow b | \cr & \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr & OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr}$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác $OAC$, ta có:

$OA + AC ≥ OC$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|$

$⇒ |\overrightarrow a  + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|}$.

Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.

Khi đó $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC}$ cùng hướng hay $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng hướng. (Do $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b$)

Chú ý:

Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:

Từ điểm O dựng điểm A sao cho $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a$.

Từ điểm A dựng điểm C sao cho $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b$.

Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.

HocTot.Nam.Name.Vn