Bài 1.23 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m. Tính góc $\alpha  = \widehat {DAB} = \widehat {CBA}$ sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và diện tích lớn nhất đó (h.1.1)

Lời giải chi tiết

Dựng $AH \bot CD$.

Đặt $x = \widehat {ADC,}0 < x < {\pi  \over 2}$ , ta được AH = sinx; DH = cosx; DC = 1+ 2cosx.

Diện tích hình thang là

$S = {{AB + CD} \over 2}AH$

$= (1 + \cos x)\sin x$

với $0 < x < {\pi  \over 2}$

Bài toán quy về: Tìm $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ sao cho tại điểm đó S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

$\begin{array}{l}S'\left( x \right) =  - {\sin ^2}x + \left( {1 + \cos x} \right)\cos x\\ = {\cos ^2}x - 1 + \cos x + {\cos ^2}x\\ = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\\ = \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right)\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Mà $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3}$.

BBT:

Hình thang có diện tích lớn nhất khi $\alpha  = {{2\pi } \over 3}$ .

Khi đó diện tích hình thang là $S = {{3\sqrt 3 } \over 4}({m^2})$

HocTot.Nam.Name.Vn