Bài 1.27 trang 15 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng

$P{Q^2} = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2$ và $PQ = x + y$

Từ đó tính y theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác PCQ vuông tại C có $PC = 1 - x,QC = 1 - y$ và vuông tại C nên theo Pitago ta có:

$\begin{array}{l}P{Q^2} = P{C^2} + C{Q^2}\\ = {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2}\\ = 1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2\end{array}$

Lại có,

BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn $\left( {A;AB} \right)$ cắt nhau tại Q nên $QM = QB = y$

DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn $\left( {A;AB} \right)$ cắt nhau tại P nên $PM = PD = y$

Vậy $PQ = PM + MQ = x + y$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow P{Q^2} = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = {x^2} + 2xy + {y^2}\\ \Leftrightarrow 2xy + 2x + 2y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow xy + x + y - 1 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 1 - x\\ \Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{{x + 1}} \end{array}$

Vậy $y = {{1 - x} \over {x + 1}},0 < x < 1$

LG b

Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} PQ = x + y = x + \frac{{1 - x}}{{x + 1}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}} \end{array}$

Do đó, $PQ = {{{x^2} + 1} \over {x + 1}},0 < x < 1$.

Xét hàm

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\ f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 + 1 \notin \left( {0;1} \right)\\ x = \sqrt 2 - 1 \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi $x = \sqrt 2  - 1$

HocTot.Nam.Name.Vn