Bài 1.25 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC có $AB = AC = 5,BC = x$.

Nửa chu vi: $p = \frac{{5 + 5 + x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}$

Diện tích:

$\begin{array}{l}{S_{ABC}}\\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}\left( {\frac{{10 + x}}{2} - x} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)} \\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}.\frac{{10 - x}}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}} \\ = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} \end{array}$

Thể tích lăng trụ:

$V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} .20$ $= 5x\sqrt {100 - {x^2}}$

Vậy $V = 5x\sqrt {100 - {x^2}}(m^3) ,$ $0 < x < 10$

Quảng cáo

LG b

Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm $V\left( x \right) = 5x\sqrt {100 - {x^2}}$ trên $\left( {0;10} \right)$ có:

$\begin{array}{l}V'\left( x \right) = 5\sqrt {100 - {x^2}}  + 5x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = 5\sqrt {100 - {x^2}}  - \frac{{5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{5\left( {100 - {x^2}} \right) - 5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt 2  \in \left( {0;10} \right)\\x =  - 5\sqrt 2  \notin \left( {0;10} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Do đó hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi $x = 5\sqrt 2$ (m)

$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} {\rm{V  =  V}}\left( {5\sqrt 2 } \right)=250(m^3)$

HocTot.Nam.Name.Vn