Bài 1.21 trang 13 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1$ trên đoạn [-4;4]

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = - 3 \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\\ f\left( { - 4} \right) = 21,f\left( 4 \right) = 77\\ f\left( 1 \right) = - 4,f\left( { - 3} \right) = 28 \end{array}$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} f(x) = f(1) =  - 4;$

$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} {\rm{ }}f(x){\rm{ }} = f(4) = 77$

LG b

$f(x) = {x^3} + 5x - 4$ trên đoạn [-3;1]

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ hay cũng đồng biến trên $\left[ { - 3;1} \right]$.

$\Rightarrow$$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f( - 3) =  - 46;$

$\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f(1) = 2$

LG c

$f(x) = {x^4} - 8{x^2} + 16$ trên đoạn [-1;3] 

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 4{x^3} - 16x\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 16x = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in \left[ { - 1;3} \right]\\ x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right] \end{array} \right.\\ f\left( { - 1} \right) = 9,f\left( 3 \right) = 25\\ f\left( 0 \right) = 16,f\left( 2 \right) = 0 \end{array}$

Vậy:

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(2) = 0$

$\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(3) = 25$

LG d

$f(x) = {x \over {x + 2}}$ trên nửa khoảng (-2;4]

Lời giải chi tiết:

$f'(x) = {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $x \ne 2$.

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left( { - 2;4} \right]$

BBT:

$\mathop {\max }\limits_{x \in \left( { - 2;4} \right]} f(x) = f(4) = {2 \over 3}$.

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng $\left( {-2;4} \right]$.

LG e

$f(x) = x + 2 + {1 \over {x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 1\\ x - 1 = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \in \left( {1; + \infty } \right)\\ x = 0 \notin \left( {1; + \infty } \right) \end{array} \right. \end{array}$

BBT:

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

$\mathop {\min f}\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} (x) = f(2) = 5$

LG f

$f\left( x \right) = x\sqrt {1 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$

$f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}}  - {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}$$= {{1 - 2x^2} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}$ với -1 < x < 1

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}$

BBT:

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left( { - 1;1} \right)} f(x) = f( - {{\sqrt 2 } \over 2}) = -{1 \over 2};$

$\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{x \in \left( { - 1;1} \right)} {\rm{ }}f(x) = f({{\sqrt 2 } \over 2}) = {1 \over 2}$

HocTot.Nam.Name.Vn