Bài 11 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số $(u_n)$ với : $u_n = \sqrt 2 + (\sqrt2)^2+......+( \sqrt 2)^n$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $\lim {u_n} = \sqrt 2  + {(\sqrt 2 )^2} + ... + {(\sqrt 2 )^n}+...$ $= {{\sqrt 2 } \over {1 - \sqrt 2 }}$

B. $\lim u_n = -∞$

C. $\lim u_n= +∞$

D. Dãy số $(u_n)$ không có giới hạn khi $n \rightarrow +∞$

Lời giải chi tiết

+ Ta có $(u_n)$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1= \sqrt 2$ và công bội $q = \sqrt 2$ nên:

$\eqalign{ & {u_n} = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - {{(\sqrt 2 )}^n}} \right]} \over {1 - \sqrt 2 }}\cr&= {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right]} \over {\sqrt 2 - 1}} \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}}.\left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right] \cr}$

Vì $\sqrt 2 > 1$ nên $\lim{[(\sqrt 2)^n -1]}= + ∞ ; \, {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 - 1}} > 1$;

  $\Rightarrow \lim {u_n} = +∞$

Chọn đáp án C.

Chú ý:

Đây không phải cấp số nhân lùi vô hạn nên không áp dụng công thức A được.