Bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

Tại điểm $(  \dfrac{1}{2} ; 2)$

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Xét giới hạn:

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}} \end{array}$

Ta có: $y'  \left ( \dfrac{1}{2} \right )= -4$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $(\dfrac{1}{2} ; 2)$ là $y =  - 4\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 =  - 4x + 4$

LG b

Tại điểm có hoành độ bằng $-1$;

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' (-1) = -1, y(-1)=-1$.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là $-1$ là: $y =  - \left( {x + 1} \right) - 1 =  - x - 2$.

LG c

Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\dfrac{1}{4}$.

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right) = 3$.

Giải phương trình tìm $x_0$, từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

$y' (x_0) = -  \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow -  \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = -  \dfrac{1}{4}$$\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2$.

Với $x_{0}= 2$ ta có $y(2) =  \dfrac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là $y =  - \dfrac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}x + 1$.

Với $x_{0} = -2$ ta có $y (-2) = - \dfrac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là: $y =  - \dfrac{1}{4}\left( {x + 2} \right) - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}x - 1$.

Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x=x_0$ bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.

 HocTot.Nam.Name.Vn