Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$y = x^2+ x$ tại $x_0= 1$

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Kết luận $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0 = 1$. Ta có:

$\begin{array}{l} \Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ \,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\ \,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\ \,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3 \end{array}$

Vậy $f'(1) = 3$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right)\\ = 1 + 2\\ = 3\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 \end{array}$

LG b

$y =  \dfrac{1}{x}$ tại $x_0= 2$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0= 2$. Ta có:

$\begin{array}{l} \Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\ \,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\ \,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4} \end{array}$

Vậy $f'(2) = -   \dfrac{1}{4}$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left( {2 - x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\ = - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{4} \end{array}$

LG c

$y = \dfrac{x+1}{x-1}$ tại $x_0 = 0$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0= 0$.Ta có:

$\begin{array}{l} \Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\ \,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\ \,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\ \,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2 \end{array}$

Vậy $f'(0) = -2$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\ = \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2 \end{array}$

 HocTot.Nam.Name.Vn