Bài 4 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số 

$$f(x) = \left\{ \matrix{ {(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr  - {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.$$

không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x = 2$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) \end{array}$

Do đó hàm số $y = f(x)$ gián đoạn tại $x = 0$.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2 \end{array}$

Vậy hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f'(2) = 2$.

 HocTot.Nam.Name.Vn