Bài 3 trang 60 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung đểm của các cạnh $AB, CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN$

a) Tìm giao điểm $A'$ của đường thẳng $AG$ và mặt phẳng $(BCD)$

b) Qua $M$ kẻ đường thẳng $Mx$ song song với $AA'$ và $Mx$ cắt $(BCD)$ tại $M'$. Chứng minh $B, M', A'$ thẳng hàng và $BM' = M'A' = A'N$.

c) Chứng minh $GA = 3 GA'$.

Lời giải chi tiết

a) Có: $MN \subset \left( {ABN} \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {\rm{ }}G \in \left( {ABN} \right)}\\ { \Rightarrow {\rm{ }}AG \subset \left( {ABN} \right).} \end{array}$

Trong $(ABN)$: Gọi $A'=AG  \cap BN$

$\Rightarrow A' \in BN \subset (BCD)$.

$\Rightarrow A' \in (BCD) \Rightarrow  A' = AG \cap (BCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MM'//AA'\\AA' \subset \left( {ABN} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow MM' \subset \left( {ABN} \right)$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}M' \in \left( {ABN} \right)\\M' \in \left( {BCD} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow M' \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BN$.

Mà $A'$ cũng thuộc $BN$ nên $M',A',B$ thẳng hàng (cùng nằm trên $BN$).

*) Xét tam giác $NMM'$ có:

+) $G$ là trung điểm của $NM$.

+) $GA'//MM'$

$\Rightarrow A'$ là trung điểm của $NM'$

Xét tam giác $BAA'$ có:

+) $M$ là trung điểm của $AB$ 

+) $MM'//AA'$

$\Rightarrow M'$ là trung điểm của $BA'$

Do đó: $BM'=M'A'=A'N$.

c) Ta có $\displaystyle MM'={1\over 2} AA'$

$\Rightarrow GA' = \frac{1}{2}MM' = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{4}AA'$

$\Rightarrow GA = AA' - GA'$ $= AA' - \frac{1}{4}AA' = \frac{3}{4}AA'$

$\Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{\dfrac{1}{4}AA'}}{{\dfrac{3}{4}AA'}} = \dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow GA = 3GA'$

HocTot.Nam.Name.Vn