Bài 3 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Biết hệ số của $x^2$ trong khai triển của $(1 - 3x)^n$ là $90$. Tìm $n$.

Lời giải chi tiết

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_n^k{.1^{n - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k}\\ = C_n^k.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\end{array}$

Hệ số của ${x^2}$ ứng với $k = 2$ hay hệ số của ${x^2}$ là $C_n^2.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( \text{Thỏa mãn} \right)\\n =  - 4\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $n = 5$.

HocTot.Nam.Name.Vn