Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng $(\alpha)$ cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$. Một đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $(\alpha)$ tại $A$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {ABD}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$;

b) Mặt phẳng $(ABD)$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$;

c) $HK//BC$ với $H$ và $K$ lần lượt là giao điểm của $DB$ và $DC$ với mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB \, \bot \, BC$ (1)

$AD$ vuông góc với $(\alpha)$ nên $AD \, \bot \, BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC \, \bot \, (ABD)$ suy ra $BC \, \bot \, BD$

$\left. \matrix{ (ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr BD \, \bot \, BC \hfill \cr AB \,\bot \, BC \hfill \cr} \right\}$

$\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$ là góc giữa hai đường thẳng $BD$ và $BA$

Mà $DA \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \, \bot \, AB$ $\Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}$

Vậy $\widehat {ABD}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$.

b)

$\left. \matrix{ BC\, \bot \, (ABD) \hfill \cr BC \, \subset \, (BCD) \hfill \cr} \right\}$ $\Rightarrow (ABD) \, \bot \, (BCD)$

c) Do $(P)$ đi qua $A, H, K$ nên mặt phẳng $\left( P \right) \equiv \left( {AHK} \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$ nên $HK\bot BD$

Trong $(BCD)$ có: $HK \, \bot \, BD$ và $BC \, \bot \, BD$ nên suy ra $HK \, // \,BC$.

Chú ý:

Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng $(P)$ như sau:

Trong $(DAB),$ qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $DB$ cắt $DB$ tại $H.$

Trong $(DBC)$, kẻ đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $DB$ cắt $DC$ tại $K.$

Từ đó ta có $(P)$ chính là $(AHK).$

HocTot.Nam.Name.Vn