Bài 4 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta)$ cắt nhau và một điểm $M$ không thuộc $(\alpha)$ và không thuộc $(\beta)$. Chứng minh rằng qua điểm $M$ có một và chỉ một mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $(\alpha)$ và $(\beta)$. Nếu $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Lời giải chi tiết

Gọi $a$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\\\left( P \right) \bot \left( \beta \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = a\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)$

Do đó mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $a$, do đó mặt phẳng $(P)$ là duy nhất.

Nếu  $(\alpha)//(\beta)$ gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(\alpha)$ khi đó ta có $d\bot (\beta)$.

Như vậy mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc với  $(\alpha)$ và $(\beta)$.

Do đó khi  $(\alpha)//(\beta)$ thì có vô số mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với  $(\alpha)$ và $(\beta)$.

 HocTot.Nam.Name.Vn