Bài 19 trang 68 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$).

Đường thẳng $a$ song song với $DC$, cắt các cạnh $AD$ và $BC$ theo thứ tự là $E$ và $F.$

Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$;

b) $\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{BF}{BC}$

c) $\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{CF}{CB}$.

Lời giải chi tiết

a) Nối $AC$ cắt $EF$ tại $O$

$∆ADC$ có $EO // DC$ (giả thiết) $\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AO}{OC}$       (1) (theo định lí Talet)

$∆ABC$ có $OF // AB$ (giả thiết) $\Rightarrow \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{BF}{FC}$         (2) (theo định lí Talet)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$

b) Theo câu a) ta có:

$\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \Rightarrow {{FC} \over {BF}} = {{ED} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BF}} + 1 = {{ED} \over {AE}} + 1 \cr & \Rightarrow {{FC + BF} \over {BF}} = {{ED + AE} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{BC} \over {BF}} = {{AD} \over {AE}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {AD}} = {{BF} \over {BC}} \cr}$

c)  Theo câu a) ta có:

$\eqalign{ & {{AE} \over {ED}} = {{BF} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AE} \over {ED}} + 1 = {{BF} \over {FC}} + 1 \cr & \Rightarrow {{AE + ED} \over {ED}} = {{BF + FC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{AD} \over {ED}} = {{BC} \over {FC}} \cr & \Rightarrow {{FC} \over {BC}} = {{ED} \over {AD}}\,\,\,hay\,\,{{DE} \over {DA}} = {{CF} \over {CB}} \cr}$

HocTot.Nam.Name.Vn