Giải bài 1 trang 80 SGK Hình học 12

LG a

a) Đi qua điểm $M(1; -2; 4)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)$ và có VTPT  $\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)$ có dạng:  $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; -2; 4)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

$(P) :2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0$ $⇔  2x + 3y + 5z -16 = 0$.

LG b

b) Đi qua điểm $A(0 ; -1 ; 2)$ và song song với giá của các vectơ $\overrightarrow{u}(3; 2; 1)$ và $\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)$.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(P)$ song song với các vecto  $\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v  \Rightarrow$ VTPT của $(P)$ là:  $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].$

Sau đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng cần lập. Theo đề bài ta có: $(Q)$ song song với $\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v.$

Khi đó ta có VTPT của $(Q)$ là: $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 3}&0\end{array}} \right|} \right) \\= \left( {2;\; - 6;\;6} \right) = 2\left( {1; - 3;\;3} \right).$

Do đó ta chọn một VTPT của $(Q)$ có tọa độ $\left( {1; - 3;\;3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng:

$(Q) :x - 0 - 3(y + 1) + 3(z - 2) = 0$ $⇔ x - 3y + 3z - 9 = 0$

LG c

c) Đi qua ba điểm $A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0)$ và  $C(0 ; 0 ; -1)$.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A, \, \, B$ và $C$ có VTPT:  $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].$

Khi đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi $(R)$ là mặt phẳng qua $A, \, B, \, C$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(R)$.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3;-2;0)$ và $\overrightarrow{AC}= (3;\, 0; \, -1).$

 Khi đó: $\overrightarrow{n_R}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]$ $= \left( \begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix} \right)\\ = (2 ; 3 ; 6).$

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ có dạng: $2x + 3y + 6(z+1)=0$

$\Leftrightarrow 2x + 3y +6z + 6 = 0.$

Cách khác:

Mp đi qua ba điểm $A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0)$ và $C(0 ; 0 ; -1)$ có phương trình:

$\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{{ - 1}} = 1$ $\Leftrightarrow 2x + 3y + 6z =  - 6$ $\Leftrightarrow 2x + 3y + 6z + 6 = 0$

HocTot.Nam.Name.Vn