Lý thuyết về phân thức đại số

1. Phân thức đại số

Định nghĩa

Chú ý:  

Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .

Ví dụ:

$\dfrac{x}{{x + 1}}$ là một phân thức đại số. Số $2$ cũng là một phân thức đại số dưới dạng $\dfrac{2}{1}.$ 

Hai phân thức bằng nhau

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Quy tắc đổi dấu

Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau:

+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức:  $\dfrac{A}{B} =  - \dfrac{{ - A}}{B}$ 

+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $\dfrac{A}{B} =  - \dfrac{A}{{ - B}}$

+ Đổi dấu mẫu : $\dfrac{A}{{ - B}} =  - \dfrac{A}{B}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 2: Tìm giá trị của biến số $x$ để phân thức$\dfrac{A}{B}$  nhận giá trị $m$ cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: $B \ne 0$

Bước 2: Từ giả thiết ta có $\dfrac{A}{B} = m$ . Từ đó tìm được $x.$

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của $x$ để hai phân thức bằng nhau.

Phương pháp:

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$  và $\dfrac{C}{D}$$\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)$, ta nói $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$  nếu $A.D = B.C$

+  $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}$ ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}$  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$)

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}.$

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

A. $\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

B. $\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

C. ${x^2} - 3x + 1$

D. $\frac{{{x^2} + 4}}{0}$

Lời giải

$\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}$ có $A = 1;\,B = {x^2} + 1 > 0\forall x \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + 1}}$ là phân thức đại số

$\frac{{x + 3}}{5}$ có $A = x + 3;\,B = 5 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{5}$ là phân thức đại số

${x^2} - 3x + 1$ có $A = {x^2} - 3x + 1;\,B = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 1$ là phân thức đại số

$\frac{{{x^2} + 4}}{0}$ có $A = {x^2} + 4;\,B = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2} + 4}}{0}$ không là phân thức đại số

Đáp án D

Câu 2. Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?

A. $\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}}$ và $\frac{{xy}}{{3y}}$

B. $\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}}$ và $\frac{{3y}}{{xy}}$

C. $\frac{3}{{24x}}$ và $\frac{{2y}}{{16xy}}$

D. $\frac{{3xy}}{5}$ và $\frac{{3{x^2}y}}{{5y}}$

Lời giải

Ta có: $\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} = \frac{{ - x}}{3};\,\frac{{xy}}{{3y}} = \frac{x}{3}$
Vì $\frac{{ - x}}{3} \ne \frac{x}{3}$ nên $\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} \ne \frac{{xy}}{{3y}}$
Ta có: $\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} =  - x;\,\frac{{3y}}{{xy}} = \frac{3}{x}$
Vì $- x \ne \frac{3}{x}$ nên $\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} \ne \frac{{3y}}{{xy}}$
Ta có: $\frac{3}{{24x}} = \frac{1}{{8x}};\,\frac{{2y}}{{16xy}} = \frac{1}{{8x}}$
Suy ra $\frac{3}{{24x}} = \frac{{2y}}{{16xy}}$
Vì $\frac{{3{x^2}y}}{{5y}} = \frac{{3{x^2}}}{5} \ne \frac{{3xy}}{5}$ nên $\frac{{3xy}}{5} \ne \frac{{3{x^2}y}}{{5y}}$

Đáp án C

Câu 3. Với điều kiện nào của $x$ thì phân thức $\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}$ có nghĩa?

A. $x \ne 3$

B. $x \ne \frac{7}{5}$

C. $x \ne  - 3$

D. $x \ne  \pm 3$

Lời giải

Phân thức $\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}$ có nghĩa khi ${x^2} - 9 \ne 0$ hay $x \ne  \pm 3$

Đáp án D

Câu 4. Phân thức $\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}}$  có giá trị bằng $\frac{{11}}{7}$ khi $x$ bằng:

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. 2

D. Không có giá trị $x$ thỏa mãn

Lời giải

Điều kiện: $5 - 3x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{3}$

Để $\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}} = \frac{{11}}{7} \Leftrightarrow \left( {7x + 2} \right)7 = 11\left( {5 - 3x} \right) \Leftrightarrow 49x + 14 = 55 - 33x$

$\Leftrightarrow 82x = 41 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án B

Câu 5. Tìm $a$ để $\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}$:

A. $a =  - 2x$

B. $a =  - x$

C. $a =  - y$

D. $a =  - 1$

Lời giải

Ta có: $a{x^4}{y^4}.4y = 4a{x^4}{y^5}$ và $- 4x{y^2}.{x^3}{y^3} =  - 4{x^4}{y^5}$

Để $\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}$thì $4a{x^4}{y^5} =  - 4{x^4}{y^5}$.

Do đó $4a =  - 4$ nên $a =  - 1$

Đáp án D

Câu 6. Hãy tìm phân thức $\frac{P}{Q}$ thỏa mãn đẳng thức: $\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}}$

A. $\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{5x + 3}}$

B. $\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}$

C. $\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}$

D. $\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x - 3} \right)}^2}}}$

Lời giải

$\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}} \\ \frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right)}}$

Suy ra $\left( {5x + 3} \right)P\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right) = \left( {2x - 1} \right)Q\left( {5x - 3} \right)$

${\left( {5x + 3} \right)^2}P = \left( {2x - 1} \right)Q\\ \frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}$

Đáp án C

Câu 7. Điều kiện để phân thức $\frac{{2x - 5}}{3} < 0$ là?

A. $x > \frac{5}{2}$

B. $x < \frac{5}{2}$

C. $x <  - \frac{5}{2}$

D. $x > 5$

Lời giải

Để $\frac{{2x - 5}}{3} < 0$ thì $2x - 5 < 0$

Suy ra $2x < 5$

Do đó $x < \frac{5}{2}$

Đáp án B

Câu 8. Đưa phân thức $\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}}$ về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

A. $\frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}$

B. $\frac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}$

C. $\frac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}$

D. $\frac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}$

Lời giải

Ta có: $\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\left( {\frac{1}{3}x - 2} \right)}}{{3\left( {{x^2} - \frac{4}{3}} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}$

Đáp án A

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}$

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Lời giải

Ta có: ${x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4$

Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x$ nên ${\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\forall x$ hay ${x^2} - 2x + 5 \ge 4$

$\Rightarrow \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}} \le \frac{{16}}{4} \Leftrightarrow A \le 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy với $x = 1$ thì $A$ đạt giá trị lớn nhất là 4.

Đáp án B

Câu 10. Cho $4{a^2} + {b^2} = 5ab$ và $2a > b > 0$. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}$.

A. $\frac{1}{9}$

B. $\frac{1}{3}$

C. 3

D. 9

Lời giải

Ta có: $4{a^2} + {b^2} = 5ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0$

$\Leftrightarrow 4a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4a - b} \right)\left( {a - b} \right) = 0$

Do $2a > b > 0 \Rightarrow 4a > b \Rightarrow 4a - b > 0$

$\Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$

Vậy $A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \frac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{1}{3}$

Đáp án B