Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng ${a^x} = b$ $(a > 0,a \ne 1)$.

Lưu ý: Với a > 0 và $a \ne 1$ và $b = {a^\alpha }$ thì phương trình ${a^x} = b$ trở thành ${a^x} = {a^\alpha }$. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = \alpha$. Một cách tổng quát, với a > 0 và $a \ne 1$ , ta có:

${a^{A(x)}} = {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) = B(x)$.

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ${a^x} > b$ hoặc ${a^x} \ge b$, ${a^x} < b$, ${a^x} \le b$ $(a > 0,a \ne 1)$.

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: ${a^x} \ge b$, ${a^x} < b$, ${a^x} \le b$.

Với a > 0, $a \ne 1$ và $b = {a^\alpha }$  thì bất phương trình ${a^x} > b$ trở thành ${a^x} > {a^\alpha }$. Khi đó:

- Nếu a > 1 thì ${a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x > \alpha$.

- Nếu 0 < a < 1 thì ${a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x < \alpha$.

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì ${a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) > B(x)$.

- Khi 0 < a < 1 thì ${a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) < B(x)$.

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) ${3^{x + 1}} = \frac{1}{9}$.

b) ${2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5$.

Giải:

a) ${3^{x + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = {\log _3}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 3$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.

b) ${2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.4^x} + {4.4^x} = 5 \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = {\log _4}\frac{{10}}{9}$.

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) ${2^x} \ge \frac{1}{{32}}$.

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15$.

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên ${2^x} \ge \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge  - 5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[ - 5; + \infty )$.

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow \frac{5}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 6 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}6$ (do cơ số $\frac{1}{2} < 1$).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $( - \infty ;{\log _{\frac{1}{2}}}6)$.