Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng ${a^x} = b$(với $0 < a \ne 1$).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

- Nếu b $\le$ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $0 < a \ne 1$ thì ${a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u = v$.

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log _a}x = b\left( {0 < a \ne 1} \right)$.

Phương trình lôgarit cơ bản ${\log _a}x = b$ có nghiệm duy nhất $x = {a^b}$.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $u,v > 0$ và $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}u = {\log _a}v \Leftrightarrow u = v$.

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ${a^x} > b$ (hoặc ${a^x} \ge b,{a^x} < b,{a^x} \le b$) với $a > 0,a \ne 1$.

Xét bất phương trình dạng ${a^x} > b$:

- Nếu $b \le 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ${a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x > {\log _a}b$.

Với $0 < a < 1$, nghiệm của bất phương trình là $x < {\log _a}b$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ${a^u} > {a^v} \Leftrightarrow u > v$.

Nếu 0 < a < 1 thì ${a^u} > {a^v} \Leftrightarrow u < v$.

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log _a}x > b$(hoặc ${\log _a}x \ge b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \le b$) với $a > 0,a \ne 1$.

Xét bất phương trình dạng ${\log _a}x > b$:

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x > {a^b}$.

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là $0 < x < {a^b}$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ${\log _a}u > {\log _a}v \Leftrightarrow u > v > 0$.

Nếu 0 < a < 1 thì ${\log _a}u > {\log _a}v \Leftrightarrow 0 < u < v$.