Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Toán 11 Kết nối trí thức

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b\)(với \(0 < a \ne 1\)).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

- Nếu b \( \le \) 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu \(0 < a \ne 1\) thì \({a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u = v\).

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\).

Phương trình lôgarit cơ bản \({\log _a}x = b\) có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu \(u,v > 0\) và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}u = {\log _a}v \Leftrightarrow u = v\).

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) (hoặc \({a^x} \ge b,{a^x} < b,{a^x} \le b\)) với \(a > 0,a \ne 1\).

Xét bất phương trình dạng \({a^x} > b\):

- Nếu \(b \le 0\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\).

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}\).

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\).

Với \(0 < a < 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\).

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì \({a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u > v\).

Nếu 0 < a < 1 thì \({a^u} > {a^v} \Leftrightarrow u < v\).

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\)(hoặc \({\log _a}x \ge b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \le b\)) với \(a > 0,a \ne 1\).

Xét bất phương trình dạng \({\log _a}x > b\):

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(x > {a^b}\).

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là \(0 < x < {a^b}\).

Chú ý:

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì \({\log _a}u > {\log _a}v \Leftrightarrow u > v > 0\).

Nếu 0 < a < 1 thì \({\log _a}u > {\log _a}v \Leftrightarrow 0 < u < v\).