Lý thuyết Lũy thừa - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Trong biểu thức ${a^n}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.

Lưu ý:

- Với $a \ne 0$ thì ${a^0} = 1$.

- ${0^0}$ với ${0^{ - n}}$ với $n \in \mathbb{N}$ không có nghĩa.

2. Lúy thừa với số mũ hữu tỉ

Lưu ý:

- Với n lẻ và $b \in \mathbb{R}$, có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

- Với n chẵn và:

+ b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu, giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm kí hiệu là $- \sqrt[n]{b}$.

Lưu ý : ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$ với a > 0 và $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Lưu ý:

 - Từ định nghĩa, ta có ${1^\alpha } = 1$ $(\alpha  \in \mathbb{R})$.

- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số khác 0.

- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

B. Bài tập

Bài 1:

a) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn giá trị biểu thức:

$A = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} + {(0,2)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}{.128^{ - 1}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 9}}$.

b) Rút gọn biểu thức: $B = \left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{{{{(1 + {a^2})}^{ - 1}}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{{a^{ - 1}}}}} \right].\frac{{{a^{ - 1}}}}{{1 - {a^{ - 2}}}}$ $(a \ne 0,a \ne 1,a \ne  - 1)$.

Giải:

a) $A = {({3^{ - 1}})^{ - 10}}.{({3^3})^{ - 3}} + {({5^{ - 1}})^{ - 4}}.{({5^2})^{ - 2}} + {({2^7})^{ - 1}}.{({2^{ - 1}})^{ - 9}}$

$= {3^{10}}{.3^{ - 9}} + {5^4}{.5^{ - 4}} + {2^{ - 7}}{.2^9}$

$= {3^1} + {5^0} + {2^2} = 8$.

b) $B = \left[ {a\sqrt 2 (1 + {a^2}) - 2\sqrt 2 a} \right].\frac{1}{{{a^3}(1 - {a^{ - 2}})}}$

$= (a\sqrt 2  + {a^3}\sqrt 2  - 2a\sqrt 2 ).\frac{1}{{{a^3} - a}}$

$= a\sqrt 2 ({a^2} - 1).\frac{1}{{a({a^2} - 1)}} = \sqrt 2$.

Bài 2:

a) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức $A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}}$.

b) Rút gọn biểu thức $C = \frac{{{x^{\frac{6}{5}}}y + x{y^{\frac{6}{5}}}}}{{\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}}}$ (x > 0, y > 0).

Giải:

a) Ta có ${\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{27}}}} = \frac{1}{3}$; ${9^{ - \frac{3}{2}}} = \sqrt {{9^{ - 3}}}  = \sqrt {\frac{1}{{{9^3}}}}  = {\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} } \right)^3} = \frac{1}{{27}}$.

Vậy $A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{27}} = \frac{{10}}{{27}}$.

b) Với x, y là các số dương, theo định nghĩa, ta có $C = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}}} = xy$.

Bài 3: Rút gọn biểu thức $E = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1}}.{a^{2 - \sqrt 5 }}}}{{{{({a^{\sqrt 7  - 3}})}^{\sqrt 7  + 3}}}}$ (a > 0).

Giải:

$E = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1 + 2 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(\sqrt 7  - 3)(}}^{\sqrt 7  + 3)}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$.