Lý thuyết Lôgarit - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Khái niệm Lôgarit

Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực $\alpha$ để ${a^\alpha } = M$ được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là ${\log _a}M$.

$\alpha  = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M$.

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1. Từ định nghĩa lôgarit, ta có các tính chất sau:

Với $0 < a \ne 1,\,\,M > 0$ và $\alpha$ là số thực tùy ý, ta có:

$\begin{array}{l}{\log _a}1 = 0;{\log _a}a = 1;\\{a^{{{\log }_a}M}} = M;{\log _a}{a^\alpha } = \alpha .\end{array}$

2. Tính chất của lôgarit

a) Quy tắc tính lôgarit

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, $\alpha$ là số thực tùy ý. Khi đó:

$\begin{array}{l}{\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N;\\{\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N;\\{\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M.\end{array}$

b) Đổi cơ số của lôgarit

Với các cơ số lôgarit a và b bất kì ($0 < a \ne 1,0 < b \ne 1$) và M là số thực dương tùy ý, ta luôn có:

${\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}$.

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgatit thập phân của M, kí hiệu là $\log M$ hoặc $\lg M$ (đọc là lốc của M).

b) Số e và lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là $\ln M$ (đọc là lôgarit Nêpe của M).