Giải mục 3 trang 67, 68, 69, 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một công ty dược nhận thấy xác suất một bệnh nhân có phản ứng phụ khi được điều trị bằng một loại thuốc M là 0,08. Chọn ngẫu nhiên 10000 bệnh nhân được điều trị một cách độc lập bằng thuốc M. Gọi \(X\) là số bệnh nhân có phản ứng phụ trong 10 000 bệnh nhân đó. Hãy viết biểu thức tính kì vọng của \(X\).

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng công thức Bernoulli: \(P\left( {{A_k}} \right) = {C}_n^k{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\).

‒ Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có bảng phân bố xác suất như sau:

Kì vọng của \(X\) được tính bởi công thức: \(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(T\) là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân được điều trị bằng thuốc M”. Theo đề bài, phép thử \(T\) được lặp lại 10000 lần một cách độc lập.

Gọi \(A\) là biến cố: “Người đó có phản ứng phụ”. Ta có: \(P\left( A \right) = 0,08\).

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Có \(k\) trong 10000 người có phản ứng phụ”. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có: \(P\left( {X = k} \right) = P\left( {{A_k}} \right) = {C}_{10000}^k{.0,08^k}{\left( {1 - 0,08} \right)^{10000 - k}} = {C}_{10000}^k{.0,08^k}{.0,92^{10000 - k}}\), với \(k = 0,1,...,10000\).

Khi đó \(X\) có bảng phân bố xác suất như sau:

Kì vọng của \(X\) là:

\(\begin{array}{l}E\left( X \right) = 1.{C}_{10000}^1{.0,08^1}{.0,92^{10000 - 1}} + 2.{C}_{10000}^2{.0,08^2}{.0,92^{10000 - 2}} + ... + 10000.{C}_{10000}^{10000}{.0,08^{10000}}{.0,92^{10000 - 10000}}\\ = \sum\limits_{k = 1}^{10000} {k{C}_{10000}^k{{.0,08}^k}{{.0,92}^{10000 - k}}} \end{array}\)

Luyện tập 4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính kì vọng của \(X\) ở HĐ3 (trang 67).

Phương pháp giải:

Biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có phân bố nhị thức \(B\left( {n;p} \right)\) thì \(E\left( X \right) = np\) và \(V\left( X \right) = np\left( {1 - p} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(T\) là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân được điều trị bằng thuốc M” và \(A\) là biến cố: “Người đó có phản ứng phụ”. Gọi \(X\) là số lần xảy ra biến cố \(A\) khi lặp lại 10000 lần phép thử \(T\).

Do phép thử \(T\) được thực hiện 10000 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố \(A\) mỗi lần thử là 0,08 nên \(X\) là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức \(B\left( {10000;0,08} \right)\).

Kì vọng của \(X\) là: \(E\left( X \right) = 10000.0,08 = 800\).

Luyện tập 5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có phân bố nhị thức \(B\left( {5;0,2} \right)\).

a) Tính xác suất của biến cố “\(X\) lớn hơn 3”.

b) Tính kì vọng và độ lệch chuẩn của \(X\).

Phương pháp giải:

Biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có phân bố nhị thức \(B\left( {n;p} \right)\). Khi đó:

\(P\left( {X = k} \right) = {C}_n^k.{p^k}.{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\), với \(k = 0,1,...,n\); \(E\left( X \right) = np\) và \(V\left( X \right) = np\left( {1 - p} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Xác suất của biến cố “\(X\) lớn hơn 3” là:

\(P\left( {X > 3} \right) = P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right) = {C}_5^4{.0,2^4}.{\left( {1 - 0,2} \right)^{5 - 4}}{ + C}_5^5{.0,2^5}.{\left( {1 - 0,2} \right)^{5 - 5}} = \frac{{21}}{{3125}} \approx 0,007\)

b) Kì vọng của \(X\) là: \(E\left( X \right) = 5.0,2 = 1\).

Phương sai của \(X\) là: \(V\left( X \right) = 5.0,2\left( {1 - 0,2} \right) = 0,8\).

Độ lệch chuẩn của \(X\) là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}  = \sqrt {0,8}  \approx 0,89\).

Vận dụng

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Vào đầu mùa đông, trang trại A lắp mới 10 bóng đèn để sưởi ấm cho gà. Các bóng đèn hoạt động độc lập với nhau và sẽ được bật liên tục trong mùa đông. Bóng bị hỏng không được thay thế. Xác suất không bị hỏng trong cả mùa đông của mỗi bóng đều bằng 0,8. Đàn gà sẽ đủ ấm nếu có ít nhất 7 bóng đèn hoạt động.

a) Tính xác suất của biến cố “Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông”.

b) Nếu người ta mua dự trữ thêm 1 bóng đèn loại rất tốt, chắc chắn có thể sử dụng hết cả mùa đông, và sẽ sử dụng nó thay thế cho bóng đèn đầu tiên bị hỏng trong 10 bóng đèn ban đầu, thì xác suất của biến cố “Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông” là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có phân bố nhị thức \(B\left( {n;p} \right)\). Khi đó:

\(P\left( {X = k} \right) = {C}_n^k.{p^k}.{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\), với \(k = 0,1,...,n\); \(E\left( X \right) = np\) và \(V\left( X \right) = np\left( {1 - p} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(X\) là số bóng đèn không bị hỏng trong suốt mùa đông. Do các bóng đèn hoạt động độc lập với nhau và xác suất không bị hỏng của mỗi bóng đèn đều bằng 0,8 nên \(X\) có phân bố nhị thức \(B\left( {10;0,8} \right)\).

a) Biến cố “Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông” xảy ra khi \(X \ge 7\) nên xác suất của biến cố này là:

\(\begin{array}{l}P\left( {X \ge 7} \right) = P\left( {X = 7} \right) + P\left( {X = 8} \right) + P\left( {X = 9} \right) + P\left( {X = 10} \right)\\ = {C}_{10}^7{.0,8^7}.{\left( {1 - 0,8} \right)^{10 - 7}}{ + C}_{10}^8{.0,8^8}.{\left( {1 - 0,8} \right)^{10 - 8}}{ + C}_{10}^9{.0,8^9}.{\left( {1 - 0,8} \right)^{10 - 9}}{ + C}_{10}^{10}{.0,8^{10}}.{\left( {1 - 0,8} \right)^{10 - 10}}\\ \approx 0,88\end{array}\)

b) Khi mua thêm bóng đèn dự trữ thì biến cố “Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông” xảy ra khi \(X \ge 6\). Xác suất của biến cố này là:

\(P\left( {X \ge 6} \right) = P\left( {X = 6} \right) + P\left( {X \ge 7} \right) = {C}_{10}^6{.0,8^6}.{\left( {1 - 0,8} \right)^4} + 0,88 \approx 0,97\).