Bài 3.1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a, $\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}}$

b, $\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}}$

c, $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}}$

d, $\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}}$

e, $\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}}$

Lời giải chi tiết

a, Ta có: $\frac{{3n + 2}}{{4 - n}} = \frac{{3 + \frac{2}{n}}}{{\frac{4}{n} - 1}}$

Vì lim 3= 3, lim $\frac{2}{n}$=0, lim$\frac{4}{n}$=0, lim 1=1 nên $\lim (3 + \frac{2}{n}) = 3$ và $\lim (\frac{4}{n} - 1)$= -1

Vậy $\lim \frac{{3n + 2}}{{4 - n}} =  - 3$.

b, Ta có: $\frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{{5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}$

Vì lim 5= 5, lim 2=2, $\lim \frac{2}{n} = 0$, $\lim \frac{1}{n} = 0$, $\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0$ nên $\lim (5 + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}) = 5$ và $\lim (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}) = 2$.

Vậy $\lim \frac{{5{n^2} + 2n - 1}}{{2{n^2} + n + 1}} = \frac{5}{2}$.

c, Ta có: $\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{n}}}{{\frac{{3n - 1}}{n}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2} + 4n + 2}}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}$=$\frac{{\sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{3 - \frac{1}{n}}}$

Vì lim 1=1, lim 3=3, $\lim \frac{4}{n} = 0$, $\lim \frac{2}{{{n^2}}} = 0$, $\lim \frac{1}{n} = 0$ nên $\lim \sqrt {1 + \frac{4}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}  = \lim \sqrt 1  = 1$ và $\lim (3 - \frac{1}{n}) = 3$

Vậy $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4n + 2} }}{{3n - 1}} = \frac{1}{3}$

d, Ta có: $\frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = \frac{{\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{\frac{4}{{{n^2}}} + 1}}$

Vì lim 1=1, $\lim \frac{1}{n} = 0$; $\lim \frac{7}{{{n^2}}} = 0$; $\lim \frac{4}{{{n^2}}} = 0$ nên $\lim (\frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}) = 0$ và $\lim (\frac{4}{{{n^2}}} + 1) = 1$

Vậy $\lim \frac{{n + 7}}{{4 + {n^2}}} = 0$.

e, Ta có: $\frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = \frac{{{{(\frac{2}{5})}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}}}{{1 + \frac{1}{{{5^n}}}}}$

Vì lim 1=1 , $\lim {(\frac{2}{5})^n} = 0$, $\lim \frac{1}{{{5^n}}} = 0$ nên $\lim \left[ {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - \frac{1}{{{5^n}}}} \right] = 0$ và $\lim \left( {1 + \frac{1}{{{5^n}}}} \right) = 1$

Vậy $\lim \frac{{{2^n} - 1}}{{{5^n} + 1}} = 0$.