Bài 3.2 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a, $\lim ({n^3} - {n^4} + 2n)$

b, $\lim (\sqrt {{n^2} + 4}  + n)$

c, $\lim \frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}}$

Lời giải chi tiết

a, Ta có:  ${n^3} - {n^4} + 2n = {n^4}.(\frac{1}{n} - 1 + \frac{2}{{{n^3}}})$

Vì $\lim ({n^4}) =  + \infty$ và $\lim (\frac{1}{n} - 1 + \frac{2}{{{n^3}}}) =  - 1$ nên $\lim ({n^3} - {n^4} + 2n) =  - \infty$.

b, Ta có: $(\sqrt {{n^2} + 4}  + n) = (n\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}}  + n) = n(\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}}  + 1)$

Vì $\lim n =  + \infty$ và $\lim (\sqrt {1 + \frac{4}{{{n^2}}}}  + 1) = 2$ nên $\lim (\sqrt {{n^2} + 4}  + n) =  + \infty$.

c, Ta có: $\frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}} = \frac{{1 + \frac{2}{{{5^n}}}}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}$

Vì $\lim (1 + \frac{2}{{{5^n}}}) = 1$ và $\lim \left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n}} \right] = 0$ nên $\lim \frac{{{5^n} + 2}}{{{3^n} + {2^n}}} =  + \infty$.