Giải mục 2 trang 59, 60, 61 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Câu hỏi 1

Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 2.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí 2 vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 2

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32).

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tam giác ADE, CBF là tam giác cân.

b) Chứng minh tứ giác DEBF có các cặp cạnh đối song song với nhan nên tứ giác DEBF là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay BE // DF.

Vì DE là tia phân giác của \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)

Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{E_1}}\) (BE // DF, hai góc so le trong) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{E_1}}\)

Suy ra tam giác ADE cân tại A.

Tương tự ta cũng chứng minh được: tam giác BCF cân tại C.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC; \(\widehat A = \widehat C;\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {ABC}\).

Vì AE là tia phân giác \(\widehat {A{\rm{D}}C}\); BF là tia phân giác \(\widehat {ABC}\) nên

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) mà \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {ABC}\)

Do đó \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)

Xét ∆ADE và ∆CBF có:

\(\widehat A = \widehat C\)(chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên);

\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{D_2}}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆CBF (g.c.g).

b) Vì \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{F_1}}\) (vì tam giác BCF cân tại C)

Suy ra \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (hai góc đồng vị).

Do đó DE // BF.

Tứ giác BEDF có:

BE // DF (chứng minh trên);

DE // BF (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác BEDF là hình bình hành.

Thực hành 2

Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác ABCD có các cặp góc đối bằng nhau nên ABCD là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Đoạn dây xích được chia thành:

• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là AB = CD;

• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Câu hỏi 2

Hãy biết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí 3 vẽ hình và ghi giả thiết kết luận

Lời giải chi tiết:

Giả thiết, kết luận của Định lí 3:

a)

GT	Tứ giác ABCD có \(\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D\)
KL	Tứ giác ABCD là hình bình hành

b)

GT	Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại điểm O; OA = OC; OB = OD.
KL	Tứ giác ABCD là hình bình hành

Luyện tập 3

Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A’, B’ là các điểm sao cho O là trung điểm của AA’, BB’. Chứng minh rằng A’B’ = AB và đường thẳng A’B’ song song với đường thẳng AB.

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác ABA’B’ là hình bình hành

Lời giải chi tiết:

Ta hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB.

Mà O là trung điểm của AA’, BB’ nên O là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác ABA’B’.

Do đó tứ giác ABA’B’ là hình bình hành.

Vận dụng

Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng nhau.

Phương pháp giải:

- Vẽ bài toán theo yêu câu

- Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm O

- Vẽ tia Ax đi qua điểm O. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho OA = OB.

- Qua B vẽ tia By // Ab; Bz // Aa cắt hai tia Aa và Bb lần lượt tại hai điểm C và D.

Khi đó, tứ giác ACBD là hình bình hành (vì AC // BD; AD // BC) có O là trung điểm AB nên O là trung điểm của CD.

Hai đoạn đường từ điểm O đến con đường a và b bằng nhau, tức là OC = OD.

Vậy con đường cần mở đường thẳng đi qua hai điểm C và D.