Giải mục 2 trang 53, 54, 55 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình sau:

a)    ${\left( {x - 2} \right)^2} = 0$

b)   ${\left( {x - 1} \right)^2} = 9$

c)    ${\left( {x - 3} \right)^2} = - 1$

Phương pháp giải:

${x^2} = a(a \ge 0)$

$x = a$ hoặc $x = - a$

Lời giải chi tiết:

a)    ${\left( {x - 2} \right)^2} = 0$

$\begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 2\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2$.

b)   ${\left( {x - 1} \right)^2} = 9$

$x - 1 = 3$ hoặc $x - 1 = - 3$

$x = 4$                $x = - 2$

Vậy phương trình có nghiệm là ${x_1} = 4;{x_2} = - 2$

c)    ${\left( {x - 3} \right)^2} = - 1$

Vì ${(x - 3)^2} \ge 0\forall x \in R$ và $- 1 < 0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải phương trình sau: ${\left( {x - 4} \right)^2} = 11$

Phương pháp giải:

${x^2} = a(a \ge 0)$

$x = a$ hoặc $x = - a$

Lời giải chi tiết:

${\left( {x - 4} \right)^2} = 11$

$x - 4 = \sqrt {11}$ hoặc $x - 4 = - \sqrt {11}$

$x = 4 + \sqrt {11}$            $x = 4 - \sqrt {11}$

Vậy phương trình có nghiệm là ${x_1} = 4 + \sqrt {11}$ và ${x_2} = 4 - \sqrt {11}$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 53 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phương trình $2{x^2} - 4x - 16 = 0$ (1)

Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 0$ (2)

a)    Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-? \right)}^{2}}=?$.

b)   Từ đó, hãy giải phương trình 2.

c)    Nêu các nghiệm của phương trình (1).

Phương pháp giải:

Viết lại số hạng $2x = 2.x.1$, phương trình (2) có dạng:

 $\begin{array}{l}{x^2} - 2.x.1 + 1 - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}$

Sau đó giải phương trình vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

a)

 $\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 = 0\\\left( {{x^2} - 2.x.1 + 1} \right) - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}$

Vậy "?" thứ nhất là 1, "?" thứ hai là 9.

b) ${\left( {x - 1} \right)^2} = 9$

$x - 1 = 3$ hoặc $x - 1 = - 3$

$x = 4$                $x = - 2$

Vậy phương trình có nghiệm là ${x_1} = 4$ và ${x_2} = - 2$

c) $2{x^2} - 4x - 16 = 0$

$\begin{array}{l}2\left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}$

Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là ${x_1} = 4$ và ${x_2} = - 2$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình:           

a) $3{x^2} - x - 0,5 = 0$

b) $4{x^2} + 10x + 15 = 0$

c) $- {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình với $\Delta = {b^2} - 4ac$.

Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}.$

Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) $3{x^2} - x - 0,5 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = 3;b = - 1;c = - 0,5$

$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3.( - 0,5) = 7 > 0$

Do $\Delta > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6};{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}$

b) $4{x^2} + 10x + 15 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = 4;b = 10;c = 15$

$\Delta = {10^2} - 4.4.15 = - 140 < 0$

Do $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

c) $- {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0$

Phương trình có các hệ số $a = - 1;b = 1;c = - \frac{1}{4}$

$\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right).( - \frac{1}{4}) = 0$

Do $\Delta = 0$ nên phương trình có nghiệm kép là:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{2}$

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 54 SGK Toán 9 Cánh diều

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ với $b = 2b'$.

a) Đặt $\Delta ' = b{'^2} - ac$, chứng tỏ rằng $\Delta = 4\Delta '.$

b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: $\Delta ' > 0;\Delta ' = 0;\Delta ' < 0.$

Phương pháp giải:

a) Thay $b = 2b'$ vào $\Delta = {b^2} - 4ac$ rồi thu gọn.

b) Xét dấu của $\Delta$ và $\Delta '$.

Lời giải chi tiết:

a) Thay $b = 2b'$vào $\Delta = {b^2} - 4ac$ ta được:

$\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b')^2} - 4ac = 4b{'^2} - 4ac = 4\left( {b{'^2} - ac} \right) = 4\Delta '$ (vì $\Delta ' = b{'^2} - ac$)

$\Rightarrow$ đpcm

b) Vì $\Delta = 4\Delta ' \Rightarrow \Delta ' = \frac{\Delta }{4}$ nên $\Delta$ và $\Delta '$cùng dấu. Vậy:

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.$

Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình:           

a) ${x^2} - 6x - 5 = 0$

b) $- 3{x^2} + 12x - 35 = 0$

c) $- 25{x^2} + 30x - 9 = 0$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình với $b = 2b'$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$.

Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.$

Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) ${x^2} - 6x - 5 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = 1;b = - 6;c = 5$. Do $b = - 6$ nên $b' = - 3$.

$\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.5 = 4 > 0$

Do $\Delta ' > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 5$

b) $- 3{x^2} + 12x - 35 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = - 3;b = 12;c = - 35$. Do $b = 12$ nên $b' = 6$.

$\Delta ' = {6^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 35} \right) = - 69 < 0$

Do $\Delta ' < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

c) $- 25{x^2} + 30x - 9 = 0$

Phương trình có các hệ số $a = - 25;b = 30;c = - 9$. Do $b = 30$ nên $b' = 15$.

$\Delta ' = {15^2} - \left( { - 25} \right).( - 9) = 0$

Do $\Delta ' = 0$ nên phương trình có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 15}}{{ - 25}} = \frac{3}{5}$