Giải mục 2 trang 32, 33, 34 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

HĐ2

Cho hai phân thức $A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}$ và $B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ 

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi  sau đây:

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$;                      

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ 

b) Sử dụng kết quả trên, tính $A + B$ và $A - B$

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu thức của phân thức ở vế trái để tìm được đa thức thay vào dấu

b) Sử dụng quy tắc cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $a \ne 0;\;b \ne 0$

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$$= \dfrac{{\left( {a + b} \right)a}}{{ab.a}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}}$  . Vậy đa thức cần tìm là ${a^2} + ab$

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$$= \dfrac{{\left( {a - b} \right)b}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$. Vậy đa thức cần tìm là $ab - {b^2}$

b) $A + B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} + \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab + ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + 2ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$

$A - B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} - \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab - ab + {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}b}}$

Thực hành 2

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\dfrac{a}{{a - 3}} - \dfrac{3}{{a + 3}}$                        

b) $\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{{x^2}}}$                         

c) $\dfrac{4}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} + x}}$ 

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi thực hiện hiện phép tính cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: $a \ne  \pm 3$

$\dfrac{a}{{a - 3}} - \dfrac{3}{{a + 3}}$ $= \dfrac{{a\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {a - 3} \right)}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + 3a}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3a - 9}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a - 3} \right)}}$

$= \dfrac{{{a^2} + 3a - 3a + 9}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + 9}}{{{a^2} - 9}}$

b) ĐKXĐ: $x \ne 0$

$\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{{x^2}}}$ $= \dfrac{x}{{2{x^2}}} + \dfrac{4}{{2{x^2}}} = \dfrac{{x + 4}}{{2{x^2}}}$

c) ĐKXĐ: $x \ne 0;\;x \ne  \pm 1$

$\dfrac{4}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} + x}}$ $= \dfrac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $= \dfrac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ $= \dfrac{{4x - 2x + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

Thực hành 3

Thực hiện phép tính: $\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{y}{{x + y}}$ 

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x \ne  \pm y$

$\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{y}{{x + y}} = \dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} - \dfrac{y}{{x + y}}$ $= \dfrac{{x\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} - \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}$ $= \dfrac{{{x^2} - xy + 2xy - xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}$

Vận dụng

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trong câu hỏi mở đầu (trang 31). Tính giá trị của các đại lượng này khi $x = 6$km/h.

Phương pháp giải:

- Viết biểu thức tính thời gian đi xuôi dòng từ A đến B, Thời gian đi ngược dòng từ B về A

- Tính hiệu thời gian đi từ B về A và thời gian đi từ A dến B

Lời giải chi tiết:

Thời gian đội đi xuôi dòng từ A đến B là: $\dfrac{3}{{x + 1}}$ (giờ)

Thời gian đội đi ngược dòng từ B về A là: $\dfrac{3}{{x - 1}}$ (giờ)

Điều kiện: $x \ne  \pm 1$

Thời gian thi của đội là:

$\dfrac{3}{{x + 1}} + \dfrac{3}{{x - 1}}$

$= \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$= \dfrac{{3x - 3 + 3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{6x}}{{{x^2} - 1}}$ (giờ)

Chênh lệch giữa thời gian đi và bề của đội là:

$\dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{x + 1}}$

$= \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{3x + 3 - 3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \dfrac{6}{{{x^2} - 1}}$ (giờ)

Khi $x = 6$ (thỏa mãn điều kiện) thì thời gian thi của đội là: $\dfrac{{6.6}}{{{6^2} - 1}} = \dfrac{{36}}{{36 - 1}} = \dfrac{{36}}{{35}}$ (giờ)

Khi $x = 6$ (thỏa mãn điều kiện) thì chênh lệch giữa thời gian đi và về của đội là: $\dfrac{6}{{{6^2} - 1}} = \dfrac{6}{{36 - 1}} = \dfrac{6}{{35}}$ (giờ)