Giải mục 2 trang 28 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

HĐ3

Xét hai phân thức $M = \dfrac{x}{y}$ và $N = \dfrac{{{x^2} + x}}{{xy + y}}$ 

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi $x = 3$, $y = 2$ và khi $x =  - 1$, $y = 5$.

Nêu nhận xét về giá trị của $M$ và $N$ khi cho $x$ và $y$ nhận những giá trị nào đó ($y \ne 0$ và $xy - y \ne 0$).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức $M$, $N$

Tính giá trị của phân thức $M$, $N$

Nêu nhận xét

b) Sử dụng quy tắc nhân đa thức rồi so sánh kết quả nhận được.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện xác định của phân thức $M$: $y \ne 0$

Điều kiện xác định của phân thức $N$: $xy + y \ne 0$ hay $xy \ne  - y$

Khi $x = 3$, $y = 2$ (thoả mãn điều kiện xác định), ta có:

$M = \dfrac{3}{2}$

$N = \dfrac{{{3^2} + 3}}{{3.2 + 2}} = \dfrac{{9 + 3}}{{6 + 2}} = \dfrac{{12}}{8} = \dfrac{3}{2}$

Vậy $M = N = \dfrac{3}{2}$ khi $x = 3$, $y = 2$

Khi $x =  - 1$, $y = 5$ (thỏa mãn điều kiện xác định của $M$) ta có:

$M = \dfrac{{ - 1}}{5}$

Vậy $M = \dfrac{{ - 1}}{5}$ khi $x =  - 1$, $y = 5$

Khi $x =  - 1$, $y = 5$ thì $xy + y = \left( { - 1} \right).5 + 5 = 0$ nên không thỏa mãn điều kiện xác định của $N$. Vậy giá trị của phân thức $N$ tại $x =  - 1$, $y = 5$ không xác định.

b) Ta có:

$x.\left( {xy + y} \right) = {x^2}y + xy$

$\left( {{x^2} + x} \right).y = {x^2}y + xy$

Vậy $x\left( {xy + y} \right) = \left( {{x^2} + x} \right)y$

Thực hành 3

Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\dfrac{{x{y^2}}}{{xy + y}}$ và $\dfrac{{xy}}{{x + 1}}$                                            

b) $\dfrac{{xy - y}}{x}$ và $\dfrac{{xy - x}}{y}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: $\dfrac{A}{B}$ $= \dfrac{C}{D}$  nếu $AD = BC$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$x{y^2}.\left( {x + 1} \right) = {x^2}{y^2} + x{y^2}$

$\left( {xy + y} \right).xy = {x^2}{y^2} + x{y^2}$

Do đó $x{y^2}.\left( {x + 1} \right) = \left( {xy + y} \right).xy$

Vậy $\dfrac{{x{y^2}}}{{xy + y}}$ $=$$\dfrac{{xy}}{{x + 1}}$            

b) Ta có:

$\left( {xy - y} \right).y = x{y^2} - {y^2}$

$x.\left( {xy - x} \right) = {x^2}y - {x^2}$

Suy ra: $\left( {xy - y} \right).y \ne x.\left( {xy - x} \right)$

Vậy hai phân thức $\dfrac{{xy - y}}{x}$ và $\dfrac{{xy - x}}{y}$ không bằng nhau