Giải mục 1 trang 55 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$. Vẽ đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

 

a) Tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $BE//AD$ nên $\widehat {EBA} = \widehat {BAD}$ (cặp góc so le trong)  (1)

Vì $BE//AD$ nên $\widehat {BEA} = \widehat {DAC}$ (cặp góc đồng vị)   (2)

Vì $AD$ là tia phân giác nên $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ (tính chất)  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$

Xét tam giác $BAE$ có:

$\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$ (chứng minh trên)

Nên tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) Vì $BE//AD$ nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}}$.

Mà tam giác $BAE$ cân tại $A$ nên $AE = AB \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (định lí Thales)

Do đó, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (điều phải chứng minh).