Giải bài tập 5 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) $BD \bot AB,CD \bot AC.$

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) $A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.$

d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.

Lời giải chi tiết

a)     Chứng minh: $BD \bot AB$

Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OB = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra $OA = OD = \frac{{AD}}{2}.$

Do đó $OB = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.$

Xét tam giác ABD có đường trung tuyến BO và $OB = \frac{{AD}}{2}$ nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra $BD \bot AB$

Chứng minh: $CD \bot AC.$

Vì tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OC = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra $OA = OD = \frac{{AD}}{2}.$

Do đó $OC = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.$

Xét tam giác ACD có đường trung tuyến CO và $OC = \frac{{AD}}{2}$ nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra $CD \bot AC.$

b)    Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC nên $BH \bot AC$,$CH \bot AB$

Ta lại có:

$BH \bot AC$, $CD \bot AC$(câu a) nên BH // DC.

$CH \bot AB$, $BD \bot AB$ (câu a) nên CH // BD.

Xét BHCD có: BH // DC, CH // BD (cmt) suy ra BHCD là hình bình hành (dhnb).

c)     Do BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Xét tam giác ADC vuông tại C có: $A{C^2} + C{D^2} = A{D^2}$, mà BH = CD, AD = 2R nên:

$A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}$.

d)    Do BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD. Hay H, M, D thẳng hàng.

Xét tam giác AHD có: M là trung điểm của HD (cmt), O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình, suy ra $OM = \frac{1}{2}AH$ hay $AH = 2OM.$