Giải bài tập 4 trang 64 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho phương trình $2{x^2} - 3x - 6 = 0$.

a)    Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}.$

b)   Tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$. Chứng minh cả 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ đều khác 0.

c)    Tính $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$

d)   Tính ${x_1}^2 + {x_2}^2$

e)    Tính $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.$

Lời giải chi tiết

a)   Phương trình có các hệ số $a = 2;b =  - 3;c =  - 6$.

$\Delta  = {( - 3)^2} - 4.2.( - 6) = 57 > 0$

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b)  Áp dụng định lý Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - ( - 3)}}{2} = \frac{3}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 6}}{2} =  - 3.$

Vì ${x_1}.{x_2} =  - 3 < 0$ nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy cả 2 nghiệm đều khác 0.

c)   $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{3}{2}:\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 1}}{2}.$

d)  ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = \frac{{33}}{4}.$

e)   Xét ${\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$

$= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right) = \frac{{57}}{4}.$

Vậy $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}}  = \frac{{\sqrt {57} }}{2}.$