Giải bài tập 3 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $r$ và đường tròn $\left( {C;r} \right)$ giả sử $M$ là một điểm nằm trên đường tròn $\left( {C;r} \right)$ sao cho điểm $M$ nằm trong hình vuông $ABCD$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;r} \right)$ tại tiếp điểm $M$ cắt các đoạn thẳng $AB,AD$ lần lượt tại $N,P$. Chứng minh:

a) Các đường thẳng $NB,PD$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;r} \right)$.

b) $\widehat {NCP} = \widehat {NCB} + \widehat {PCD} = 45^\circ$.

Lời giải chi tiết

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = AD = r$; $AB \bot BC$ hay $NB \bot BC$; $AD \bot CD$ hay $PD \bot CD$.

Xét $\left( C \right)$ có:

+ $B \in \left( C \right);NB \bot BC \Rightarrow NB$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

+ $D \in \left( C \right);PD \bot CD \Rightarrow PD$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

b) Do $MP$ và $PD$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $P$ nên $CP$ là tia phân giác của $\widehat {MCD} \Rightarrow \widehat {MCP} = \widehat {PCD}$ (1).

Do $MN$ nà $NB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$ nên $CN$ là tia phân giác của $\widehat {MCB} \Rightarrow \widehat {MCN} = \widehat {BCN}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {MCP} + \widehat {MCN} = \widehat {PCD} + \widehat {BCN}$ $\Rightarrow \widehat {PCN} = \widehat {PCD} + \widehat {BCN}$.

Lại có: $\widehat {PCN} + \widehat {PCD} + \widehat {PCN} = 90^\circ$  hay $\widehat {PCN} + \widehat {PCN} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {PCN} = 45^\circ$.

Vậy $\widehat {PCN} = \widehat {PCD} + \widehat {BCN} = 45^\circ$.