Giải bài tập 5 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường tròn $\left( {I;r} \right)$ và $\left( {K;R} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $P$ với $R \ne r$, đường thẳng $a$ lần lượt tiếp xúc với $\left( {I;r} \right)$ và $\left( {K;R} \right)$ tại $A$ và $B,a$ cắt $KI$ tại $O$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $IK$ cắt đường thẳng $a$ tại $M$. Chứng minh:

a) $\frac{{OI}}{{OK}} = \frac{r}{R}$;

b) $AB = 2MP$;

c) $\widehat {IMK} = 90^\circ$.

Lời giải chi tiết

a) Do $AI$ là tiếp tuyến của $\left( I \right)$ nên $AI \bot AB$

Do $BK$ là tiếp tuyến của $\left( K \right)$ nên $KB \bot AB$

Từ đó suy ra $AI//BK$

Xét tam giác $OBK$ có: $AI//BK \Rightarrow \frac{{OI}}{{OK}} = \frac{{AI}}{{BK}} = \frac{r}{R}$ (định lí Thalet).

b) Xét $\left( I \right)$ có $MP,MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow MP = MA$(1).

Xét $\left( K \right)$ có $MP,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow MP = MB$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $MP + MP = MA + MB \Rightarrow 2MP = AB$

c) Do $AI//BK \Rightarrow \widehat {OIA} = \widehat {IKB}$ (2 góc đồng vị).

Mà $\widehat {AIK} + \widehat {OAI} = 180^\circ$ (2 góc kề bù) nên $\widehat {AIK} + \widehat {IKB} = 180^\circ$ (3).

Do $MP,MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow IM$ là phân giác $\widehat {AIP} \Rightarrow \widehat {MIP} = \frac{1}{2}\widehat {AIP}$ (4).

Do $MP,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow KM$ là phân giác $\widehat {IKP} \Rightarrow \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {IKP}$ (5).

Từ (3), (4) và (5) suy ra $\frac{1}{2}\widehat {AIP} + \frac{1}{2}\widehat {IKP} = \frac{1}{2}.180^\circ  \Rightarrow \widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ$

Xét tam giác $IMK$ có: $\widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ$