Giải bài 9.22 trang 56 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho $\widehat {APQ} = \widehat {ACB}$. Chứng minh rằng:

a) $AP.AB = AQ.AC$

b) $\Delta APC\backsim \Delta AQB$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác APQ và tam giác ACB có:

$\widehat {PAQ} = \widehat {BAC}$ (hai góc đối đỉnh), $\widehat {APQ} = \widehat {ACB}$ (gt)

Do đó, $\Delta APQ\backsim \Delta ACB\left( g-g \right)$ nên $\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}$

Suy ra: $AP.AB = AQ.AC$

b) Vì $\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AQ}}{{AB}}$ nên $\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Tam giác APC và tam giác AQB có:

$\widehat {PAC} = \widehat {BAQ}$ (hai góc đối đỉnh), $\frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (cmt)

Do đó, $\Delta APC\backsim \Delta AQB\left( c-g-c \right)$