Giải bài 9 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(H\), \(D\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AB\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ADHC\) là hình thang

b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(D\). Chứng minh rằng tứ giác \(AHBE\) là hình chữ nhật

c) Tia \(CD\) cắt \(AH\) tại \(M\) và cắt \(BE\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMBN\) là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(AB = AC\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AH\) là trung tuyến (gt)

Suy ra \(AH\) là đường cao

Suy ra \(AH \bot BC\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HD\) là trung tuyến

Suy ra \(HD = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(DA = DB = \frac{1}{2}AB\) (do \(D\) là trung điểm \(AB\))

Suy ra \(DA = DB = HD\)

Suy ra \(\Delta DHB\) cân tại \(D\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{DHB}}}\)

Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {{\rm{DHB}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Suy ra \(DH\) // \(AC\)

Suy ra \(ADHC\) là hình thang

b) Vì \(E\) đối xứng với \(H\) qua \(D\) (gt)

Suy ra \(D\) là trung điểm của \(HE\)

Xét tứ giác \(AHBE\) ta có:

Hai đường chéo \(HE\) và \(AB\) cắt nhau tại trung điểm \(D\)

Suy ra \(AHBE\) là hình bình hành

Mà \(\widehat {{\rm{AHB}}} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(AHBE\) là hình chữ nhật

c) Vì \(AHBE\) là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra \(AH\) // \(BE\) và \(AH = BE\)

Xét \(\Delta DEN\) và \(\Delta DHM\) ta có:

\(\widehat {{\rm{NED}}} = \widehat {{\rm{DHM}}}\) (do \(BE\) // \(AH\))

\(DE = DH\) (do \(D\) là trung điểm của \(HE\))

\(\widehat {{\rm{EDN}}} = \widehat {{\rm{MDH}}}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta DEN = \Delta DHM\) (g-c-g)

Suy ra \(EN = MH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BE = AH\) (cmt)

Suy ra \(BE - EN = AH - MH\)

Suy ra \(NB = AM\)

Mà \(NB\) // \(AM\) (do \(EB\) // \(AH\))

Suy ra \(AMBN\) là hình bình hành